Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118398 / 119934
↖ ↑ ↗
← S 81.569163°
E145.189819°		 ← 44.77 m → S 81.569163°
E145.192566°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
S 81.569566°
E145.189819°		 ← 44.77 m →
2 005 m²		 S 81.569566°
E145.192566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903308868408203 y=0.915027618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903308868408203 × 217)
    floor (0.903308868408203 × 131072)
    floor (118398.5)     		tx = 118398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915027618408203 × 217)
    floor (0.915027618408203 × 131072)
    floor (119934.5)     		ty = 119934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118398 / 119934 ti = "17/118398/119934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118398/119934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118398 ÷ 217
    118398 ÷ 131072     		x = 0.903305053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119934 ÷ 217
    119934 ÷ 131072     		y = 0.915023803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.903305053710938 × 2 - 1) × π
    0.806610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53404039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915023803710938 × 2 - 1) × π
    -0.830047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60767146553181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53404039} λ = 2.53404039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60767146553181))-π/2
    2×atan(0.0737059709924603)-π/2
    2×0.0735729334126896-π/2
    0.147145866825379-1.57079632675     		φ = -1.42365046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53404039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.189819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42365046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.569163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118398 KachelY 119934 2.53404039 -1.42365046 145.189819 -81.569163
    Oben rechts KachelX + 1 118399 KachelY 119934 2.53408832 -1.42365046 145.192566 -81.569163
    Unten links KachelX 118398 KachelY + 1 119935 2.53404039 -1.42365749 145.189819 -81.569566
    Unten rechts KachelX + 1 118399 KachelY + 1 119935 2.53408832 -1.42365749 145.192566 -81.569566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42365046--1.42365749) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dl = 44.7881300008282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42365046--1.42365749) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dr = 44.7881300008282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53404039-2.53408832) × cos(-1.42365046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146615443272495 × 6371000     		do = 44.7707893870663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53404039-2.53408832) × cos(-1.42365749) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1466084892381 × 6371000     		du = 44.7686658890069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42365046)-sin(-1.42365749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146615443272495-0.1466084892381)×R²
    abs(2.53408832-2.53404039)×6.95403439474052e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.95403439474052e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.95403439474052e-06×40589641000000     		ar = 2005.15238148857m²