Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118397 / 119936
↖ ↑ ↗
← S 81.569968°
E145.187073°		 ← 44.78 m → S 81.569968°
E145.189819°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
S 81.570371°
E145.187073°		 ← 44.77 m →
2 003 m²		 S 81.570371°
E145.189819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903301239013672 y=0.915042877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903301239013672 × 217)
    floor (0.903301239013672 × 131072)
    floor (118397.5)     		tx = 118397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915042877197266 × 217)
    floor (0.915042877197266 × 131072)
    floor (119936.5)     		ty = 119936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118397 / 119936 ti = "17/118397/119936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118397/119936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118397 ÷ 217
    118397 ÷ 131072     		x = 0.903297424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119936 ÷ 217
    119936 ÷ 131072     		y = 0.9150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.903297424316406 × 2 - 1) × π
    0.806594848632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.53399245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    -0.830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53399245} λ = 2.53399245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60776733933105))-π/2
    2×atan(0.0736989048597285)-π/2
    2×0.0735659054561645-π/2
    0.147131810912329-1.57079632675     		φ = -1.42366452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53399245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.187073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42366452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.569968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118397 KachelY 119936 2.53399245 -1.42366452 145.187073 -81.569968
    Oben rechts KachelX + 1 118398 KachelY 119936 2.53404039 -1.42366452 145.189819 -81.569968
    Unten links KachelX 118397 KachelY + 1 119937 2.53399245 -1.42367154 145.187073 -81.570371
    Unten rechts KachelX + 1 118398 KachelY + 1 119937 2.53404039 -1.42367154 145.189819 -81.570371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42366452--1.42367154) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42366452--1.42367154) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53399245-2.53404039) × cos(-1.42366452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14660153519646 × 6371000     		do = 44.7758823724855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53399245-2.53404039) × cos(-1.42367154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146594591039541 × 6371000     		du = 44.77376144822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42366452)-sin(-1.42367154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14660153519646-0.146594591039541)×R²
    abs(2.53404039-2.53399245)×6.94415691873673e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.94415691873673e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.94415691873673e-06×40589641000000     		ar = 2002.52794068688m²