Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118350 / 119888
↖ ↑ ↗
← S 81.550619°
E145.057984°		 ← 44.87 m → S 81.550619°
E145.060730°		 →
↑
44.85 m
↓
↑
44.85 m
↓
S 81.551022°
E145.057984°		 ← 44.87 m →
2 012 m²		 S 81.551022°
E145.060730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902942657470703 y=0.914676666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902942657470703 × 217)
    floor (0.902942657470703 × 131072)
    floor (118350.5)     		tx = 118350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914676666259766 × 217)
    floor (0.914676666259766 × 131072)
    floor (119888.5)     		ty = 119888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118350 / 119888 ti = "17/118350/119888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118350/119888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118350 ÷ 217
    118350 ÷ 131072     		x = 0.902938842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119888 ÷ 217
    119888 ÷ 131072     		y = 0.9146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902938842773438 × 2 - 1) × π
    0.805877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53173942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60546636814929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53173942} λ = 2.53173942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60546636814929))-π/2
    2×atan(0.0738686791639235)-π/2
    2×0.073734760504978-π/2
    0.147469521009956-1.57079632675     		φ = -1.42332681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53173942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.057984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42332681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.550619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118350 KachelY 119888 2.53173942 -1.42332681 145.057984 -81.550619
    Oben rechts KachelX + 1 118351 KachelY 119888 2.53178735 -1.42332681 145.060730 -81.550619
    Unten links KachelX 118350 KachelY + 1 119889 2.53173942 -1.42333385 145.057984 -81.551022
    Unten rechts KachelX + 1 118351 KachelY + 1 119889 2.53178735 -1.42333385 145.060730 -81.551022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42332681--1.42333385) × R
    7.03999999984717e-06 × 6371000     		dl = 44.8518399990263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42332681--1.42333385) × R
    7.03999999984717e-06 × 6371000     		dr = 44.8518399990263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53173942-2.53178735) × cos(-1.42332681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146935588085735 × 6371000     		do = 44.8685494571312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53173942-2.53178735) × cos(-1.42333385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146928624493814 × 6371000     		du = 44.8664230405662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42332681)-sin(-1.42333385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146935588085735-0.146928624493814)×R²
    abs(2.53178735-2.53173942)×6.96359192095541e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.96359192095541e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.96359192095541e-06×40589641000000     		ar = 2012.38931438669m²