Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118316 / 119989
↖ ↑ ↗
← S 81.591282°
E144.964599°		 ← 44.66 m → S 81.591282°
E144.967346°		 →
↑
44.66 m
↓
↑
44.66 m
↓
S 81.591684°
E144.964599°		 ← 44.66 m →
1 995 m²		 S 81.591684°
E144.967346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902683258056641 y=0.915447235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902683258056641 × 217)
    floor (0.902683258056641 × 131072)
    floor (118316.5)     		tx = 118316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915447235107422 × 217)
    floor (0.915447235107422 × 131072)
    floor (119989.5)     		ty = 119989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118316 / 119989 ti = "17/118316/119989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118316/119989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118316 ÷ 217
    118316 ÷ 131072     		x = 0.902679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119989 ÷ 217
    119989 ÷ 131072     		y = 0.915443420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902679443359375 × 2 - 1) × π
    0.80535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53010956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915443420410156 × 2 - 1) × π
    -0.830886840820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.61030799501092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53010956} λ = 2.53010956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61030799501092))-π/2
    2×atan(0.0735118989778674)-π/2
    2×0.0733799072674861-π/2
    0.146759814534972-1.57079632675     		φ = -1.42403651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53010956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.964599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42403651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.591282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118316 KachelY 119989 2.53010956 -1.42403651 144.964599 -81.591282
    Oben rechts KachelX + 1 118317 KachelY 119989 2.53015750 -1.42403651 144.967346 -81.591282
    Unten links KachelX 118316 KachelY + 1 119990 2.53010956 -1.42404352 144.964599 -81.591684
    Unten rechts KachelX + 1 118317 KachelY + 1 119990 2.53015750 -1.42404352 144.967346 -81.591684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42403651--1.42404352) × R
    7.00999999980745e-06 × 6371000     		dl = 44.6607099987732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42403651--1.42404352) × R
    7.00999999980745e-06 × 6371000     		dr = 44.6607099987732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53010956-2.53015750) × cos(-1.42403651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146233554180287 × 6371000     		do = 44.663491498315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53010956-2.53015750) × cos(-1.42404352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146226619533539 × 6371000     		du = 44.6613734787002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42403651)-sin(-1.42404352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146233554180287-0.146226619533539)×R²
    abs(2.53015750-2.53010956)×6.93464674866862e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.93464674866862e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.93464674866862e-06×40589641000000     		ar = 1994.65594509063m²