Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118298 / 120042
↖ ↑ ↗
← S 81.612542°
E144.915161°		 ← 44.54 m → S 81.612542°
E144.917907°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.612943°
E144.915161°		 ← 44.54 m →
1 986 m²		 S 81.612943°
E144.917907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902545928955078 y=0.915851593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902545928955078 × 217)
    floor (0.902545928955078 × 131072)
    floor (118298.5)     		tx = 118298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915851593017578 × 217)
    floor (0.915851593017578 × 131072)
    floor (120042.5)     		ty = 120042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118298 / 120042 ti = "17/118298/120042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118298/120042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118298 ÷ 217
    118298 ÷ 131072     		x = 0.902542114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120042 ÷ 217
    120042 ÷ 131072     		y = 0.915847778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902542114257812 × 2 - 1) × π
    0.805084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.52924670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915847778320312 × 2 - 1) × π
    -0.831695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61284865069078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52924670} λ = 2.52924670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61284865069078))-π/2
    2×atan(0.073325367610518)-π/2
    2×0.0731943759692251-π/2
    0.14638875193845-1.57079632675     		φ = -1.42440757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52924670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.915161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42440757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.612542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118298 KachelY 120042 2.52924670 -1.42440757 144.915161 -81.612542
    Oben rechts KachelX + 1 118299 KachelY 120042 2.52929463 -1.42440757 144.917907 -81.612542
    Unten links KachelX 118298 KachelY + 1 120043 2.52924670 -1.42441457 144.915161 -81.612943
    Unten rechts KachelX + 1 118299 KachelY + 1 120043 2.52929463 -1.42441457 144.917907 -81.612943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42440757--1.42441457) × R
    6.99999999986822e-06 × 6371000     		dl = 44.5969999991604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42440757--1.42441457) × R
    6.99999999986822e-06 × 6371000     		dr = 44.5969999991604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52924670-2.52929463) × cos(-1.42440757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145866472981868 × 6371000     		do = 44.5420822987107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52924670-2.52929463) × cos(-1.42441457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145859547848286 × 6371000     		du = 44.5399676258622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42440757)-sin(-1.42441457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145866472981868-0.145859547848286)×R²
    abs(2.52929463-2.52924670)×6.92513358177549e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.92513358177549e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.92513358177549e-06×40589641000000     		ar = 1986.39609004119m²