Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11814 / 14066
↖ ↑ ↗
← N 24.666986°
W 50.207520°		 ← 1 110.16 m → N 24.666986°
W 50.196533°		 →
↑
1 110.21 m
↓
↑
1 110.21 m
↓
N 24.657002°
W 50.207520°		 ← 1 110.25 m →
1 232 564 m²		 N 24.657002°
W 50.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360549926757812 y=0.429275512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360549926757812 × 215)
    floor (0.360549926757812 × 32768)
    floor (11814.5)     		tx = 11814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429275512695312 × 215)
    floor (0.429275512695312 × 32768)
    floor (14066.5)     		ty = 14066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11814 / 14066 ti = "15/11814/14066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11814/14066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11814 ÷ 215
    11814 ÷ 32768     		x = 0.36053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14066 ÷ 215
    14066 ÷ 32768     		y = 0.42926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.2789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87628653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    0.1414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.444470933277161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87628653} λ = -0.87628653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444470933277161))-π/2
    2×atan(1.55966481075988)-π/2
    2×1.00065822787499-π/2
    2.00131645574999-1.57079632675     		φ = 0.43052013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87628653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43052013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.666986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11814 KachelY 14066 -0.87628653 0.43052013 -50.207520 24.666986
    Oben rechts KachelX + 1 11815 KachelY 14066 -0.87609478 0.43052013 -50.196533 24.666986
    Unten links KachelX 11814 KachelY + 1 14067 -0.87628653 0.43034587 -50.207520 24.657002
    Unten rechts KachelX + 1 11815 KachelY + 1 14067 -0.87609478 0.43034587 -50.196533 24.657002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43052013-0.43034587) × R
    0.000174259999999982 × 6371000     		dl = 1110.21045999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43052013-0.43034587) × R
    0.000174259999999982 × 6371000     		dr = 1110.21045999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87628653--0.87609478) × cos(0.43052013) × R
    0.000191750000000046 × 0.908748799720574 × 6371000     		do = 1110.16320212931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87628653--0.87609478) × cos(0.43034587) × R
    0.000191750000000046 × 0.90882151220533 × 6371000     		du = 1110.25203055465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43052013)-sin(0.43034587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908748799720574-0.90882151220533)×R²
    abs(-0.87609478--0.87628653)×7.27124847560434e-05×R²
    0.000191750000000046×7.27124847560434e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.27124847560434e-05×40589641000000     		ar = 1232564.11155368m²