Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118120 / 118168
↖ ↑ ↗
← S 80.827405°
E144.426270°		 ← 48.69 m → S 80.827405°
E144.429016°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.827843°
E144.426270°		 ← 48.69 m →
2 370 m²		 S 80.827843°
E144.429016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.901187896728516 y=0.901554107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.901187896728516 × 217)
    floor (0.901187896728516 × 131072)
    floor (118120.5)     		tx = 118120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901554107666016 × 217)
    floor (0.901554107666016 × 131072)
    floor (118168.5)     		ty = 118168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118120 / 118168 ti = "17/118120/118168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118120/118168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118120 ÷ 217
    118120 ÷ 131072     		x = 0.90118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118168 ÷ 217
    118168 ÷ 131072     		y = 0.90155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90118408203125 × 2 - 1) × π
    0.8023681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.52071393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.8031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5230149008028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52071393} λ = 2.52071393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5230149008028))-π/2
    2×atan(0.0802173943232383)-π/2
    2×0.0800459938234676-π/2
    0.160091987646935-1.57079632675     		φ = -1.41070434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52071393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41070434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.827405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118120 KachelY 118168 2.52071393 -1.41070434 144.426270 -80.827405
    Oben rechts KachelX + 1 118121 KachelY 118168 2.52076187 -1.41070434 144.429016 -80.827405
    Unten links KachelX 118120 KachelY + 1 118169 2.52071393 -1.41071198 144.426270 -80.827843
    Unten rechts KachelX + 1 118121 KachelY + 1 118169 2.52076187 -1.41071198 144.429016 -80.827843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41070434--1.41071198) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dl = 48.6744400012582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41070434--1.41071198) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dr = 48.6744400012582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52071393-2.52076187) × cos(-1.41070434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159409017813709 × 6371000     		do = 48.6876172283934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52071393-2.52076187) × cos(-1.41071198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159401475504609 × 6371000     		du = 48.6853136130552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41070434)-sin(-1.41071198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159409017813709-0.159401475504609)×R²
    abs(2.52076187-2.52071393)×7.54230910002263e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54230910002263e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54230910002263e-06×40589641000000     		ar = 2369.78643983076m²