Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118105 / 118169
↖ ↑ ↗
← S 80.827843°
E144.385071°		 ← 48.68 m → S 80.827843°
E144.387817°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.828280°
E144.385071°		 ← 48.67 m →
2 369 m²		 S 80.828280°
E144.387817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.901073455810547 y=0.901561737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.901073455810547 × 217)
    floor (0.901073455810547 × 131072)
    floor (118105.5)     		tx = 118105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901561737060547 × 217)
    floor (0.901561737060547 × 131072)
    floor (118169.5)     		ty = 118169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118105 / 118169 ti = "17/118105/118169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118105/118169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118105 ÷ 217
    118105 ÷ 131072     		x = 0.901069641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118169 ÷ 217
    118169 ÷ 131072     		y = 0.901557922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.901069641113281 × 2 - 1) × π
    0.802139282226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.51999488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901557922363281 × 2 - 1) × π
    -0.803115844726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.52306283770242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.51999488} λ = 2.51999488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52306283770242))-π/2
    2×atan(0.080213549042225)-π/2
    2×0.0800421731268106-π/2
    0.160084346253621-1.57079632675     		φ = -1.41071198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.51999488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.385071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41071198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.827843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118105 KachelY 118169 2.51999488 -1.41071198 144.385071 -80.827843
    Oben rechts KachelX + 1 118106 KachelY 118169 2.52004281 -1.41071198 144.387817 -80.827843
    Unten links KachelX 118105 KachelY + 1 118170 2.51999488 -1.41071962 144.385071 -80.828280
    Unten rechts KachelX + 1 118106 KachelY + 1 118170 2.52004281 -1.41071962 144.387817 -80.828280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41071198--1.41071962) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41071198--1.41071962) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.51999488-2.52004281) × cos(-1.41071198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159401475504609 × 6371000     		do = 48.6751581451125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.51999488-2.52004281) × cos(-1.41071962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159393933186205 × 6371000     		du = 48.6728550074537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41071198)-sin(-1.41071962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159401475504609-0.159393933186205)×R²
    abs(2.52004281-2.51999488)×7.54231840399688e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.54231840399688e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.54231840399688e-06×40589641000000     		ar = 2369.18001284361m²