Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1181 / 882
↖ ↑ ↗
← N 24.206890°
E 27.597656°		 ← 17.827 km → N 24.206890°
E 27.773438°		 →
↑
17.839 km
↓
↑
17.839 km
↓
N 24.046464°
E 27.597656°		 ← 17.850 km →
318.213 km²		 N 24.046464°
E 27.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576904296875 y=0.430908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576904296875 × 211)
    floor (0.576904296875 × 2048)
    floor (1181.5)     		tx = 1181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430908203125 × 211)
    floor (0.430908203125 × 2048)
    floor (882.5)     		ty = 882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1181 / 882 ti = "11/1181/882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1181/882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1181 ÷ 211
    1181 ÷ 2048     		x = 0.57666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 882 ÷ 211
    882 ÷ 2048     		y = 0.4306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43565054374707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48166997} λ = 0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43565054374707))-π/2
    2×atan(1.54596845199942)-π/2
    2×0.996643126180616-π/2
    1.99328625236123-1.57079632675     		φ = 0.42248993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42248993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.206890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1181 KachelY 882 0.48166997 0.42248993 27.597656 24.206890
    Oben rechts KachelX + 1 1182 KachelY 882 0.48473793 0.42248993 27.773438 24.206890
    Unten links KachelX 1181 KachelY + 1 883 0.48166997 0.41968997 27.597656 24.046464
    Unten rechts KachelX + 1 1182 KachelY + 1 883 0.48473793 0.41968997 27.773438 24.046464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42248993-0.41968997) × R
    0.00279995999999999 × 6371000     		dl = 17838.5451599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42248993-0.41968997) × R
    0.00279995999999999 × 6371000     		dr = 17838.5451599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48166997-0.48473793) × cos(0.42248993) × R
    0.00306795999999998 × 0.91207081591576 × 6371000     		do = 17827.3116879086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48166997-0.48473793) × cos(0.41968997) × R
    0.00306795999999998 × 0.91321531440113 × 6371000     		du = 17849.6820245853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42248993)-sin(0.41968997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91207081591576-0.91321531440113)×R²
    abs(0.48473793-0.48166997)×0.00114449848537024×R²
    0.00306795999999998×0.00114449848537024×6371000²
    0.00306795999999998×0.00114449848537024×40589641000000     		ar = 318213039.649949m²