Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118093 / 118229
↖ ↑ ↗
← S 80.854074°
E144.352112°		 ← 48.55 m → S 80.854074°
E144.354858°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.854510°
E144.352112°		 ← 48.54 m →
2 357 m²		 S 80.854510°
E144.354858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.900981903076172 y=0.902019500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.900981903076172 × 217)
    floor (0.900981903076172 × 131072)
    floor (118093.5)     		tx = 118093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902019500732422 × 217)
    floor (0.902019500732422 × 131072)
    floor (118229.5)     		ty = 118229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118093 / 118229 ti = "17/118093/118229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118093/118229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118093 ÷ 217
    118093 ÷ 131072     		x = 0.900978088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118229 ÷ 217
    118229 ÷ 131072     		y = 0.902015686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.900978088378906 × 2 - 1) × π
    0.801956176757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.51941963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902015686035156 × 2 - 1) × π
    -0.804031372070312 × 3.1415926535     		Φ = -2.52593905167962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.51941963} λ = 2.51941963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52593905167962))-π/2
    2×atan(0.0799831691810172)-π/2
    2×0.0798132619031164-π/2
    0.159626523806233-1.57079632675     		φ = -1.41116980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.51941963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.352112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41116980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.854074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118093 KachelY 118229 2.51941963 -1.41116980 144.352112 -80.854074
    Oben rechts KachelX + 1 118094 KachelY 118229 2.51946757 -1.41116980 144.354858 -80.854074
    Unten links KachelX 118093 KachelY + 1 118230 2.51941963 -1.41117742 144.352112 -80.854510
    Unten rechts KachelX + 1 118094 KachelY + 1 118230 2.51946757 -1.41117742 144.354858 -80.854510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41116980--1.41117742) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41116980--1.41117742) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.51941963-2.51946757) × cos(-1.41116980) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.1589494925741 × 6371000     		do = 48.5472663924868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.51941963-2.51946757) × cos(-1.41117742) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.158941969444712 × 6371000     		du = 48.5449686351265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41116980)-sin(-1.41117742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1589494925741-0.158941969444712)×R²
    abs(2.51946757-2.51941963)×7.52312938759325e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.52312938759325e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.52312938759325e-06×40589641000000     		ar = 2356.76933795619m²