Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11809 / 13817
↖ ↑ ↗
← N 27.127591°
W 50.262451°		 ← 1 087.19 m → N 27.127591°
W 50.251465°		 →
↑
1 087.27 m
↓
↑
1 087.27 m
↓
N 27.117813°
W 50.262451°		 ← 1 087.29 m →
1 182 130 m²		 N 27.117813°
W 50.251465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360397338867188 y=0.421676635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360397338867188 × 215)
    floor (0.360397338867188 × 32768)
    floor (11809.5)     		tx = 11809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421676635742188 × 215)
    floor (0.421676635742188 × 32768)
    floor (13817.5)     		ty = 13817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11809 / 13817 ti = "15/11809/13817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11809/13817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11809 ÷ 215
    11809 ÷ 32768     		x = 0.360382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13817 ÷ 215
    13817 ÷ 32768     		y = 0.421661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360382080078125 × 2 - 1) × π
    -0.27923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87724526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421661376953125 × 2 - 1) × π
    0.15667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.492216085298737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87724526} λ = -0.87724526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492216085298737))-π/2
    2×atan(1.63593758307604)-π/2
    2×1.02213105418211-π/2
    2.04426210836421-1.57079632675     		φ = 0.47346578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87724526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.262451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47346578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.127591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11809 KachelY 13817 -0.87724526 0.47346578 -50.262451 27.127591
    Oben rechts KachelX + 1 11810 KachelY 13817 -0.87705352 0.47346578 -50.251465 27.127591
    Unten links KachelX 11809 KachelY + 1 13818 -0.87724526 0.47329512 -50.262451 27.117813
    Unten rechts KachelX + 1 11810 KachelY + 1 13818 -0.87705352 0.47329512 -50.251465 27.117813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47346578-0.47329512) × R
    0.000170659999999989 × 6371000     		dl = 1087.27485999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47346578-0.47329512) × R
    0.000170659999999989 × 6371000     		dr = 1087.27485999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87724526--0.87705352) × cos(0.47346578) × R
    0.000191739999999996 × 0.889993332518149 × 6371000     		do = 1087.19408576723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87724526--0.87705352) × cos(0.47329512) × R
    0.000191739999999996 × 0.890071136001445 × 6371000     		du = 1087.28912859936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47346578)-sin(0.47329512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889993332518149-0.890071136001445)×R²
    abs(-0.87705352--0.87724526)×7.78034832967789e-05×R²
    0.000191739999999996×7.78034832967789e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.78034832967789e-05×40589641000000     		ar = 1182130.46910516m²