Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11807 / 13823
↖ ↑ ↗
← N 27.068909°
W 50.284424°		 ← 1 087.82 m → N 27.068909°
W 50.273437°		 →
↑
1 087.85 m
↓
↑
1 087.85 m
↓
N 27.059126°
W 50.284424°		 ← 1 087.92 m →
1 183 435 m²		 N 27.059126°
W 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360336303710938 y=0.421859741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360336303710938 × 215)
    floor (0.360336303710938 × 32768)
    floor (11807.5)     		tx = 11807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421859741210938 × 215)
    floor (0.421859741210938 × 32768)
    floor (13823.5)     		ty = 13823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11807 / 13823 ti = "15/11807/13823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11807/13823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11807 ÷ 215
    11807 ÷ 32768     		x = 0.360321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13823 ÷ 215
    13823 ÷ 32768     		y = 0.421844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360321044921875 × 2 - 1) × π
    -0.27935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87762876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421844482421875 × 2 - 1) × π
    0.15631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.491065599707855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87762876} λ = -0.87762876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491065599707855))-π/2
    2×atan(1.63405654272153)-π/2
    2×1.02161895771064-π/2
    2.04323791542127-1.57079632675     		φ = 0.47244159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87762876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.284424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47244159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.068909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11807 KachelY 13823 -0.87762876 0.47244159 -50.284424 27.068909
    Oben rechts KachelX + 1 11808 KachelY 13823 -0.87743701 0.47244159 -50.273437 27.068909
    Unten links KachelX 11807 KachelY + 1 13824 -0.87762876 0.47227084 -50.284424 27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 11808 KachelY + 1 13824 -0.87743701 0.47227084 -50.273437 27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47244159-0.47227084) × R
    0.000170749999999997 × 6371000     		dl = 1087.84824999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47244159-0.47227084) × R
    0.000170749999999997 × 6371000     		dr = 1087.84824999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87762876--0.87743701) × cos(0.47244159) × R
    0.000191750000000046 × 0.890459869189236 × 6371000     		do = 1087.8207267517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87762876--0.87743701) × cos(0.47227084) × R
    0.000191750000000046 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 1087.91563446008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47244159)-sin(0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890459869189236-0.890537558006442)×R²
    abs(-0.87743701--0.87762876)×7.76888172054901e-05×R²
    0.000191750000000046×7.76888172054901e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.76888172054901e-05×40589641000000     		ar = 1183435.49937819m²