Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11804 / 13817
↖ ↑ ↗
← N 27.127591°
W 50.317383°		 ← 1 087.25 m → N 27.127591°
W 50.306396°		 →
↑
1 087.27 m
↓
↑
1 087.27 m
↓
N 27.117813°
W 50.317383°		 ← 1 087.35 m →
1 182 192 m²		 N 27.117813°
W 50.306396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360244750976562 y=0.421676635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360244750976562 × 215)
    floor (0.360244750976562 × 32768)
    floor (11804.5)     		tx = 11804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421676635742188 × 215)
    floor (0.421676635742188 × 32768)
    floor (13817.5)     		ty = 13817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11804 / 13817 ti = "15/11804/13817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11804/13817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11804 ÷ 215
    11804 ÷ 32768     		x = 0.3602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13817 ÷ 215
    13817 ÷ 32768     		y = 0.421661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87820400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421661376953125 × 2 - 1) × π
    0.15667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.492216085298737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87820400} λ = -0.87820400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492216085298737))-π/2
    2×atan(1.63593758307604)-π/2
    2×1.02213105418211-π/2
    2.04426210836421-1.57079632675     		φ = 0.47346578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87820400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47346578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.127591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11804 KachelY 13817 -0.87820400 0.47346578 -50.317383 27.127591
    Oben rechts KachelX + 1 11805 KachelY 13817 -0.87801225 0.47346578 -50.306396 27.127591
    Unten links KachelX 11804 KachelY + 1 13818 -0.87820400 0.47329512 -50.317383 27.117813
    Unten rechts KachelX + 1 11805 KachelY + 1 13818 -0.87801225 0.47329512 -50.306396 27.117813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47346578-0.47329512) × R
    0.000170659999999989 × 6371000     		dl = 1087.27485999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47346578-0.47329512) × R
    0.000170659999999989 × 6371000     		dr = 1087.27485999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87820400--0.87801225) × cos(0.47346578) × R
    0.000191749999999935 × 0.889993332518149 × 6371000     		do = 1087.2507872421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87820400--0.87801225) × cos(0.47329512) × R
    0.000191749999999935 × 0.890071136001445 × 6371000     		du = 1087.34583503109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47346578)-sin(0.47329512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889993332518149-0.890071136001445)×R²
    abs(-0.87801225--0.87820400)×7.78034832967789e-05×R²
    0.000191749999999935×7.78034832967789e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.78034832967789e-05×40589641000000     		ar = 1182192.1218882m²