Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11803 / 13815
↖ ↑ ↗
← N 27.147145°
W 50.328369°		 ← 1 087.06 m → N 27.147145°
W 50.317383°		 →
↑
1 087.08 m
↓
↑
1 087.08 m
↓
N 27.137368°
W 50.328369°		 ← 1 087.16 m →
1 181 778 m²		 N 27.137368°
W 50.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360214233398438 y=0.421615600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360214233398438 × 215)
    floor (0.360214233398438 × 32768)
    floor (11803.5)     		tx = 11803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421615600585938 × 215)
    floor (0.421615600585938 × 32768)
    floor (13815.5)     		ty = 13815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11803 / 13815 ti = "15/11803/13815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11803/13815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11803 ÷ 215
    11803 ÷ 32768     		x = 0.360198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13815 ÷ 215
    13815 ÷ 32768     		y = 0.421600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.27960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87839575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421600341796875 × 2 - 1) × π
    0.15679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.492599580495697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87839575} λ = -0.87839575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492599580495697))-π/2
    2×atan(1.63656507759456)-π/2
    2×1.0223016933431-π/2
    2.0446033866862-1.57079632675     		φ = 0.47380706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87839575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.328369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47380706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.147145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11803 KachelY 13815 -0.87839575 0.47380706 -50.328369 27.147145
    Oben rechts KachelX + 1 11804 KachelY 13815 -0.87820400 0.47380706 -50.317383 27.147145
    Unten links KachelX 11803 KachelY + 1 13816 -0.87839575 0.47363643 -50.328369 27.137368
    Unten rechts KachelX + 1 11804 KachelY + 1 13816 -0.87820400 0.47363643 -50.317383 27.137368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47380706-0.47363643) × R
    0.000170630000000005 × 6371000     		dl = 1087.08373000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47380706-0.47363643) × R
    0.000170630000000005 × 6371000     		dr = 1087.08373000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87839575--0.87820400) × cos(0.47380706) × R
    0.000191750000000046 × 0.889837666042184 × 6371000     		do = 1087.06061896579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87839575--0.87820400) × cos(0.47363643) × R
    0.000191750000000046 × 0.889915507675197 × 6371000     		du = 1087.15571335996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47380706)-sin(0.47363643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889837666042184-0.889915507675197)×R²
    abs(-0.87820400--0.87839575)×7.78416330123877e-05×R²
    0.000191750000000046×7.78416330123877e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.78416330123877e-05×40589641000000     		ar = 1181777.60305291m²