Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11802 / 13859
↖ ↑ ↗
← N 26.716174°
W 50.339356°		 ← 1 091.22 m → N 26.716174°
W 50.328369°		 →
↑
1 091.29 m
↓
↑
1 091.29 m
↓
N 26.706360°
W 50.339356°		 ← 1 091.32 m →
1 190 890 m²		 N 26.706360°
W 50.328369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360183715820312 y=0.422958374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360183715820312 × 215)
    floor (0.360183715820312 × 32768)
    floor (11802.5)     		tx = 11802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422958374023438 × 215)
    floor (0.422958374023438 × 32768)
    floor (13859.5)     		ty = 13859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11802 / 13859 ti = "15/11802/13859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11802/13859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11802 ÷ 215
    11802 ÷ 32768     		x = 0.36016845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13859 ÷ 215
    13859 ÷ 32768     		y = 0.422943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.2796630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87858750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422943115234375 × 2 - 1) × π
    0.15411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.484162686162567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87858750} λ = -0.87858750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484162686162567))-π/2
    2×atan(1.62281563382609)-π/2
    2×1.0185407611967-π/2
    2.03708152239339-1.57079632675     		φ = 0.46628520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87858750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.339356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46628520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.716174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11802 KachelY 13859 -0.87858750 0.46628520 -50.339356 26.716174
    Oben rechts KachelX + 1 11803 KachelY 13859 -0.87839575 0.46628520 -50.328369 26.716174
    Unten links KachelX 11802 KachelY + 1 13860 -0.87858750 0.46611391 -50.339356 26.706360
    Unten rechts KachelX + 1 11803 KachelY + 1 13860 -0.87839575 0.46611391 -50.328369 26.706360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46628520-0.46611391) × R
    0.000171289999999991 × 6371000     		dl = 1091.28858999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46628520-0.46611391) × R
    0.000171289999999991 × 6371000     		dr = 1091.28858999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87858750--0.87839575) × cos(0.46628520) × R
    0.000191749999999935 × 0.89324451460107 × 6371000     		do = 1091.2225588835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87858750--0.87839575) × cos(0.46611391) × R
    0.000191749999999935 × 0.893321508542434 × 6371000     		du = 1091.31661770428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46628520)-sin(0.46611391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89324451460107-0.893321508542434)×R²
    abs(-0.87839575--0.87858750)×7.69939413635123e-05×R²
    0.000191749999999935×7.69939413635123e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.69939413635123e-05×40589641000000     		ar = 1190890.05323112m²