Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11801 / 13863
↖ ↑ ↗
← N 26.676913°
W 50.350342°		 ← 1 091.54 m → N 26.676913°
W 50.339356°		 →
↑
1 091.67 m
↓
↑
1 091.67 m
↓
N 26.667096°
W 50.350342°		 ← 1 091.64 m →
1 191 656 m²		 N 26.667096°
W 50.339356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360153198242188 y=0.423080444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360153198242188 × 215)
    floor (0.360153198242188 × 32768)
    floor (11801.5)     		tx = 11801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423080444335938 × 215)
    floor (0.423080444335938 × 32768)
    floor (13863.5)     		ty = 13863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11801 / 13863 ti = "15/11801/13863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11801/13863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11801 ÷ 215
    11801 ÷ 32768     		x = 0.360137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13863 ÷ 215
    13863 ÷ 32768     		y = 0.423065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.27972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87877924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423065185546875 × 2 - 1) × π
    0.15386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.483395695768646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87877924} λ = -0.87877924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483395695768646))-π/2
    2×atan(1.62157142703216)-π/2
    2×1.01819814717555-π/2
    2.03639629435109-1.57079632675     		φ = 0.46559997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87877924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46559997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.676913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11801 KachelY 13863 -0.87877924 0.46559997 -50.350342 26.676913
    Oben rechts KachelX + 1 11802 KachelY 13863 -0.87858750 0.46559997 -50.339356 26.676913
    Unten links KachelX 11801 KachelY + 1 13864 -0.87877924 0.46542862 -50.350342 26.667096
    Unten rechts KachelX + 1 11802 KachelY + 1 13864 -0.87858750 0.46542862 -50.339356 26.667096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46559997-0.46542862) × R
    0.000171349999999959 × 6371000     		dl = 1091.67084999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46559997-0.46542862) × R
    0.000171349999999959 × 6371000     		dr = 1091.67084999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87877924--0.87858750) × cos(0.46559997) × R
    0.000191739999999996 × 0.893552364522889 × 6371000     		do = 1091.5417122103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87877924--0.87858750) × cos(0.46542862) × R
    0.000191739999999996 × 0.89362928052719 × 6371000     		du = 1091.63567091979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46559997)-sin(0.46542862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893552364522889-0.89362928052719)×R²
    abs(-0.87858750--0.87877924)×7.69160043007089e-05×R²
    0.000191739999999996×7.69160043007089e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.69160043007089e-05×40589641000000     		ar = 1191655.5576866m²