Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11801 / 13819
↖ ↑ ↗
← N 27.108034°
W 50.350342°		 ← 1 087.38 m → N 27.108034°
W 50.339356°		 →
↑
1 087.47 m
↓
↑
1 087.47 m
↓
N 27.098254°
W 50.350342°		 ← 1 087.48 m →
1 182 545 m²		 N 27.098254°
W 50.339356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360153198242188 y=0.421737670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360153198242188 × 215)
    floor (0.360153198242188 × 32768)
    floor (11801.5)     		tx = 11801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421737670898438 × 215)
    floor (0.421737670898438 × 32768)
    floor (13819.5)     		ty = 13819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11801 / 13819 ti = "15/11801/13819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11801/13819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11801 ÷ 215
    11801 ÷ 32768     		x = 0.360137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13819 ÷ 215
    13819 ÷ 32768     		y = 0.421722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.27972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87877924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421722412109375 × 2 - 1) × π
    0.15655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.491832590101776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87877924} λ = -0.87877924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491832590101776))-π/2
    2×atan(1.63531032915253)-π/2
    2×1.02196038517991-π/2
    2.04392077035983-1.57079632675     		φ = 0.47312444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87877924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47312444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.108034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11801 KachelY 13819 -0.87877924 0.47312444 -50.350342 27.108034
    Oben rechts KachelX + 1 11802 KachelY 13819 -0.87858750 0.47312444 -50.339356 27.108034
    Unten links KachelX 11801 KachelY + 1 13820 -0.87877924 0.47295375 -50.350342 27.098254
    Unten rechts KachelX + 1 11802 KachelY + 1 13820 -0.87858750 0.47295375 -50.339356 27.098254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47312444-0.47295375) × R
    0.000170689999999973 × 6371000     		dl = 1087.46598999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47312444-0.47295375) × R
    0.000170689999999973 × 6371000     		dr = 1087.46598999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87877924--0.87858750) × cos(0.47312444) × R
    0.000191739999999996 × 0.890148922674961 × 6371000     		do = 1087.38415089706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87877924--0.87858750) × cos(0.47295375) × R
    0.000191739999999996 × 0.890226687972137 × 6371000     		du = 1087.47914708195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47312444)-sin(0.47295375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890148922674961-0.890226687972137)×R²
    abs(-0.87858750--0.87877924)×7.77652971759579e-05×R²
    0.000191739999999996×7.77652971759579e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.77652971759579e-05×40589641000000     		ar = 1182544.93759644m²