Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11800 / 13865
↖ ↑ ↗
← N 26.657278°
W 50.361328°		 ← 1 091.79 m → N 26.657278°
W 50.350342°		 →
↑
1 091.86 m
↓
↑
1 091.86 m
↓
N 26.647459°
W 50.361328°		 ← 1 091.88 m →
1 192 131 m²		 N 26.647459°
W 50.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360122680664062 y=0.423141479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360122680664062 × 215)
    floor (0.360122680664062 × 32768)
    floor (11800.5)     		tx = 11800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423141479492188 × 215)
    floor (0.423141479492188 × 32768)
    floor (13865.5)     		ty = 13865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11800 / 13865 ti = "15/11800/13865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11800/13865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11800 ÷ 215
    11800 ÷ 32768     		x = 0.360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13865 ÷ 215
    13865 ÷ 32768     		y = 0.423126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.27978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87897099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423126220703125 × 2 - 1) × π
    0.15374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.483012200571686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87897099} λ = -0.87897099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483012200571686))-π/2
    2×atan(1.62094968140422)-π/2
    2×1.01802679590802-π/2
    2.03605359181603-1.57079632675     		φ = 0.46525727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87897099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46525727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.657278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11800 KachelY 13865 -0.87897099 0.46525727 -50.361328 26.657278
    Oben rechts KachelX + 1 11801 KachelY 13865 -0.87877924 0.46525727 -50.350342 26.657278
    Unten links KachelX 11800 KachelY + 1 13866 -0.87897099 0.46508589 -50.361328 26.647459
    Unten rechts KachelX + 1 11801 KachelY + 1 13866 -0.87877924 0.46508589 -50.350342 26.647459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46525727-0.46508589) × R
    0.000171379999999999 × 6371000     		dl = 1091.86197999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46525727-0.46508589) × R
    0.000171379999999999 × 6371000     		dr = 1091.86197999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87897099--0.87877924) × cos(0.46525727) × R
    0.000191750000000046 × 0.8937061702938 × 6371000     		do = 1091.78653559835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87897099--0.87877924) × cos(0.46508589) × R
    0.000191750000000046 × 0.89378304727545 × 6371000     		du = 1091.88045153656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46525727)-sin(0.46508589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8937061702938-0.89378304727545)×R²
    abs(-0.87877924--0.87897099)×7.68769816494874e-05×R²
    0.000191750000000046×7.68769816494874e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.68769816494874e-05×40589641000000     		ar = 1192131.48303459m²