Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11800 / 13848
↖ ↑ ↗
← N 26.824071°
W 50.361328°		 ← 1 090.19 m → N 26.824071°
W 50.350342°		 →
↑
1 090.21 m
↓
↑
1 090.21 m
↓
N 26.814266°
W 50.361328°		 ← 1 090.28 m →
1 188 579 m²		 N 26.814266°
W 50.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360122680664062 y=0.422622680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360122680664062 × 215)
    floor (0.360122680664062 × 32768)
    floor (11800.5)     		tx = 11800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422622680664062 × 215)
    floor (0.422622680664062 × 32768)
    floor (13848.5)     		ty = 13848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11800 / 13848 ti = "15/11800/13848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11800/13848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11800 ÷ 215
    11800 ÷ 32768     		x = 0.360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13848 ÷ 215
    13848 ÷ 32768     		y = 0.422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.27978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87897099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422607421875 × 2 - 1) × π
    0.15478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.48627190974585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87897099} λ = -0.87897099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48627190974585))-π/2
    2×atan(1.62624212718225)-π/2
    2×1.01948234034485-π/2
    2.0389646806897-1.57079632675     		φ = 0.46816835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87897099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46816835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.824071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11800 KachelY 13848 -0.87897099 0.46816835 -50.361328 26.824071
    Oben rechts KachelX + 1 11801 KachelY 13848 -0.87877924 0.46816835 -50.350342 26.824071
    Unten links KachelX 11800 KachelY + 1 13849 -0.87897099 0.46799723 -50.361328 26.814266
    Unten rechts KachelX + 1 11801 KachelY + 1 13849 -0.87877924 0.46799723 -50.350342 26.814266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46816835-0.46799723) × R
    0.000171120000000025 × 6371000     		dl = 1090.20552000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46816835-0.46799723) × R
    0.000171120000000025 × 6371000     		dr = 1090.20552000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87897099--0.87877924) × cos(0.46816835) × R
    0.000191750000000046 × 0.8923963213167 × 6371000     		do = 1090.18637267635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87897099--0.87877924) × cos(0.46799723) × R
    0.000191750000000046 × 0.892473526576049 × 6371000     		du = 1090.28068965148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46816835)-sin(0.46799723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8923963213167-0.892473526576049)×R²
    abs(-0.87877924--0.87897099)×7.72052593489558e-05×R²
    0.000191750000000046×7.72052593489558e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.72052593489558e-05×40589641000000     		ar = 1188578.61666443m²