Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1180 / 941
↖ ↑ ↗
← N 14.434680°
E 27.421875°		 ← 18.929 km → N 14.434680°
E 27.597656°		 →
↑
18.936 km
↓
↑
18.936 km
↓
N 14.264383°
E 27.421875°		 ← 18.943 km →
358.579 km²		 N 14.264383°
E 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576416015625 y=0.459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576416015625 × 211)
    floor (0.576416015625 × 2048)
    floor (1180.5)     		tx = 1180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459716796875 × 211)
    floor (0.459716796875 × 2048)
    floor (941.5)     		ty = 941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1180 / 941 ti = "11/1180/941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1180/941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1180 ÷ 211
    1180 ÷ 2048     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 941 ÷ 211
    941 ÷ 2048     		y = 0.45947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254640810781738))-π/2
    2×atan(1.2899981842078)-π/2
    2×0.911364511508635-π/2
    1.82272902301727-1.57079632675     		φ = 0.25193270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25193270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.434680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1180 KachelY 941 0.47860201 0.25193270 27.421875 14.434680
    Oben rechts KachelX + 1 1181 KachelY 941 0.48166997 0.25193270 27.597656 14.434680
    Unten links KachelX 1180 KachelY + 1 942 0.47860201 0.24896045 27.421875 14.264383
    Unten rechts KachelX + 1 1181 KachelY + 1 942 0.48166997 0.24896045 27.597656 14.264383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25193270-0.24896045) × R
    0.00297225000000001 × 6371000     		dl = 18936.2047500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25193270-0.24896045) × R
    0.00297225000000001 × 6371000     		dr = 18936.2047500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.48166997) × cos(0.25193270) × R
    0.00306795999999998 × 0.968432454773362 × 6371000     		do = 18928.9547682729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.48166997) × cos(0.24896045) × R
    0.00306795999999998 × 0.969169086915728 × 6371000     		du = 18943.3529603564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25193270)-sin(0.24896045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968432454773362-0.969169086915728)×R²
    abs(0.48166997-0.47860201)×0.000736632142365745×R²
    0.00306795999999998×0.000736632142365745×6371000²
    0.00306795999999998×0.000736632142365745×40589641000000     		ar = 358579150.734294m²