Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1180 / 939
↖ ↑ ↗
← N 14.774883°
E 27.421875°		 ← 18.900 km → N 14.774883°
E 27.597656°		 →
↑
18.907 km
↓
↑
18.907 km
↓
N 14.604847°
E 27.421875°		 ← 18.914 km →
357.477 km²		 N 14.604847°
E 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576416015625 y=0.458740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576416015625 × 211)
    floor (0.576416015625 × 2048)
    floor (1180.5)     		tx = 1180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458740234375 × 211)
    floor (0.458740234375 × 2048)
    floor (939.5)     		ty = 939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1180 / 939 ti = "11/1180/939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1180/939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1180 ÷ 211
    1180 ÷ 2048     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 939 ÷ 211
    939 ÷ 2048     		y = 0.45849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    0.0830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.260776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.260776733933105))-π/2
    2×atan(1.29793784760334)-π/2
    2×0.914333336560855-π/2
    1.82866667312171-1.57079632675     		φ = 0.25787035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25787035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.774883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1180 KachelY 939 0.47860201 0.25787035 27.421875 14.774883
    Oben rechts KachelX + 1 1181 KachelY 939 0.48166997 0.25787035 27.597656 14.774883
    Unten links KachelX 1180 KachelY + 1 940 0.47860201 0.25490267 27.421875 14.604847
    Unten rechts KachelX + 1 1181 KachelY + 1 940 0.48166997 0.25490267 27.597656 14.604847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25787035-0.25490267) × R
    0.00296768000000003 × 6371000     		dl = 18907.0892800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25787035-0.25490267) × R
    0.00296768000000003 × 6371000     		dr = 18907.0892800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.48166997) × cos(0.25787035) × R
    0.00306795999999998 × 0.966935277831868 × 6371000     		do = 18899.6909879587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.48166997) × cos(0.25490267) × R
    0.00306795999999998 × 0.96768784215076 × 6371000     		du = 18914.4005899369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25787035)-sin(0.25490267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966935277831868-0.96768784215076)×R²
    abs(0.48166997-0.47860201)×0.000752564318892035×R²
    0.00306795999999998×0.000752564318892035×6371000²
    0.00306795999999998×0.000752564318892035×40589641000000     		ar = 357477465.115108m²