Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1180 / 507
↖ ↑ ↗
← N 82.704242°
W128.144531°		 ← 620.54 m → N 82.704242°
W128.100586°		 →
↑
620.79 m
↓
↑
620.79 m
↓
N 82.698659°
W128.144531°		 ← 621.01 m →
385 373 m²		 N 82.698659°
W128.100586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14410400390625 y=0.06195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14410400390625 × 213)
    floor (0.14410400390625 × 8192)
    floor (1180.5)     		tx = 1180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06195068359375 × 213)
    floor (0.06195068359375 × 8192)
    floor (507.5)     		ty = 507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1180 / 507 ti = "13/1180/507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1180/507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1180 ÷ 213
    1180 ÷ 8192     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 507 ÷ 213
    507 ÷ 8192     		y = 0.0618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0618896484375 × 2 - 1) × π
    0.876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.7527285237821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7527285237821))-π/2
    2×atan(15.6853714587559)-π/2
    2×1.50712882273518-π/2
    3.01425764547037-1.57079632675     		φ = 1.44346132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44346132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.704242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1180 KachelY 507 -2.23654399 1.44346132 -128.144531 82.704242
    Oben rechts KachelX + 1 1181 KachelY 507 -2.23577700 1.44346132 -128.100586 82.704242
    Unten links KachelX 1180 KachelY + 1 508 -2.23654399 1.44336388 -128.144531 82.698659
    Unten rechts KachelX + 1 1181 KachelY + 1 508 -2.23577700 1.44336388 -128.100586 82.698659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44346132-1.44336388) × R
    9.74400000000042e-05 × 6371000     		dl = 620.790240000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44346132-1.44336388) × R
    9.74400000000042e-05 × 6371000     		dr = 620.790240000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23577700) × cos(1.44346132) × R
    0.000766989999999801 × 0.126991179695629 × 6371000     		do = 620.541547471715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23577700) × cos(1.44336388) × R
    0.000766989999999801 × 0.127087830203396 × 6371000     		du = 621.013829529393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44346132)-sin(1.44336388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126991179695629-0.127087830203396)×R²
    abs(-2.23577700--2.23654399)×9.66505077669988e-05×R²
    0.000766989999999801×9.66505077669988e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.66505077669988e-05×40589641000000     		ar = 385372.730533079m²