Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1180 / 500
↖ ↑ ↗
← N 82.743202°
W128.144531°		 ← 617.25 m → N 82.743202°
W128.100586°		 →
↑
617.48 m
↓
↑
617.48 m
↓
N 82.737649°
W128.144531°		 ← 617.72 m →
381 280 m²		 N 82.737649°
W128.100586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14410400390625 y=0.06109619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14410400390625 × 213)
    floor (0.14410400390625 × 8192)
    floor (1180.5)     		tx = 1180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06109619140625 × 213)
    floor (0.06109619140625 × 8192)
    floor (500.5)     		ty = 500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1180 / 500 ti = "13/1180/500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1180/500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1180 ÷ 213
    1180 ÷ 8192     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 500 ÷ 213
    500 ÷ 8192     		y = 0.06103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06103515625 × 2 - 1) × π
    0.8779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.75809745653955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75809745653955))-π/2
    2×atan(15.7698116373787)-π/2
    2×1.507468820139-π/2
    3.014937640278-1.57079632675     		φ = 1.44414131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44414131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.743202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1180 KachelY 500 -2.23654399 1.44414131 -128.144531 82.743202
    Oben rechts KachelX + 1 1181 KachelY 500 -2.23577700 1.44414131 -128.100586 82.743202
    Unten links KachelX 1180 KachelY + 1 501 -2.23654399 1.44404439 -128.144531 82.737649
    Unten rechts KachelX + 1 1181 KachelY + 1 501 -2.23577700 1.44404439 -128.100586 82.737649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44414131-1.44404439) × R
    9.69200000000559e-05 × 6371000     		dl = 617.477320000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44414131-1.44404439) × R
    9.69200000000559e-05 × 6371000     		dr = 617.477320000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23577700) × cos(1.44414131) × R
    0.000766989999999801 × 0.126316665691675 × 6371000     		do = 617.245539317382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23577700) × cos(1.44404439) × R
    0.000766989999999801 × 0.12641280876611 × 6371000     		du = 617.715341805489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44414131)-sin(1.44404439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126316665691675-0.12641280876611)×R²
    abs(-2.23577700--2.23654399)×9.614307443509e-05×R²
    0.000766989999999801×9.614307443509e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.614307443509e-05×40589641000000     		ar = 381280.167887464m²