Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11797 / 4629
↖ ↑ ↗
← N 82.293439°
W115.197143°		 ← 81.91 m → N 82.293439°
W115.191650°		 →
↑
81.93 m
↓
↑
81.93 m
↓
N 82.292702°
W115.197143°		 ← 81.91 m →
6 711 m²		 N 82.292702°
W115.191650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.180015563964844 y=0.0706405639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.180015563964844 × 216)
    floor (0.180015563964844 × 65536)
    floor (11797.5)     		tx = 11797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0706405639648438 × 216)
    floor (0.0706405639648438 × 65536)
    floor (4629.5)     		ty = 4629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11797 / 4629 ti = "16/11797/4629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11797/4629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11797 ÷ 216
    11797 ÷ 65536     		x = 0.180007934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4629 ÷ 216
    4629 ÷ 65536     		y = 0.0706329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.180007934570312 × 2 - 1) × π
    -0.639984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01056944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0706329345703125 × 2 - 1) × π
    0.858734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69779283681752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01056944} λ = -2.01056944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69779283681752))-π/2
    2×atan(14.8469259460161)-π/2
    2×1.50354389225987-π/2
    3.00708778451974-1.57079632675     		φ = 1.43629146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01056944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.197143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43629146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.293439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11797 KachelY 4629 -2.01056944 1.43629146 -115.197143 82.293439
    Oben rechts KachelX + 1 11798 KachelY 4629 -2.01047357 1.43629146 -115.191650 82.293439
    Unten links KachelX 11797 KachelY + 1 4630 -2.01056944 1.43627860 -115.197143 82.292702
    Unten rechts KachelX + 1 11798 KachelY + 1 4630 -2.01047357 1.43627860 -115.191650 82.292702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43629146-1.43627860) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dl = 81.9310600000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43629146-1.43627860) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dr = 81.9310600000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01056944--2.01047357) × cos(1.43629146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134099666377464 × 6371000     		do = 81.9064361844333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01056944--2.01047357) × cos(1.43627860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134112410212924 × 6371000     		du = 81.9142199632753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43629146)-sin(1.43627860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134099666377464-0.134112410212924)×R²
    abs(-2.01047357--2.01056944)×1.27438354602938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27438354602938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27438354602938e-05×40589641000000     		ar = 6711.00000433796m²