Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11796 / 13844
↖ ↑ ↗
← N 26.863280°
W 50.405273°		 ← 1 089.81 m → N 26.863280°
W 50.394287°		 →
↑
1 089.82 m
↓
↑
1 089.82 m
↓
N 26.853479°
W 50.405273°		 ← 1 089.90 m →
1 187 750 m²		 N 26.853479°
W 50.394287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360000610351562 y=0.422500610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360000610351562 × 215)
    floor (0.360000610351562 × 32768)
    floor (11796.5)     		tx = 11796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422500610351562 × 215)
    floor (0.422500610351562 × 32768)
    floor (13844.5)     		ty = 13844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11796 / 13844 ti = "15/11796/13844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11796/13844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11796 ÷ 215
    11796 ÷ 32768     		x = 0.3599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13844 ÷ 215
    13844 ÷ 32768     		y = 0.4224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87973798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4224853515625 × 2 - 1) × π
    0.155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.487038900139771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87973798} λ = -0.87973798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487038900139771))-π/2
    2×atan(1.6274899177325)-π/2
    2×1.01982451080338-π/2
    2.03964902160676-1.57079632675     		φ = 0.46885269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87973798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.405273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46885269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.863280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11796 KachelY 13844 -0.87973798 0.46885269 -50.405273 26.863280
    Oben rechts KachelX + 1 11797 KachelY 13844 -0.87954623 0.46885269 -50.394287 26.863280
    Unten links KachelX 11796 KachelY + 1 13845 -0.87973798 0.46868163 -50.405273 26.853479
    Unten rechts KachelX + 1 11797 KachelY + 1 13845 -0.87954623 0.46868163 -50.394287 26.853479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46885269-0.46868163) × R
    0.000171060000000001 × 6371000     		dl = 1089.82326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46885269-0.46868163) × R
    0.000171060000000001 × 6371000     		dr = 1089.82326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87973798--0.87954623) × cos(0.46885269) × R
    0.000191750000000046 × 0.892087302250788 × 6371000     		do = 1089.80886285644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87973798--0.87954623) × cos(0.46868163) × R
    0.000191750000000046 × 0.892164584897356 × 6371000     		du = 1089.90327437083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46885269)-sin(0.46868163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892087302250788-0.892164584897356)×R²
    abs(-0.87954623--0.87973798)×7.72826465677001e-05×R²
    0.000191750000000046×7.72826465677001e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.72826465677001e-05×40589641000000     		ar = 1187750.49652341m²