Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11794 / 13850
↖ ↑ ↗
← N 26.804461°
W 50.427246°		 ← 1 090.37 m → N 26.804461°
W 50.416260°		 →
↑
1 090.40 m
↓
↑
1 090.40 m
↓
N 26.794654°
W 50.427246°		 ← 1 090.47 m →
1 188 993 m²		 N 26.794654°
W 50.416260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359939575195312 y=0.422683715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359939575195312 × 215)
    floor (0.359939575195312 × 32768)
    floor (11794.5)     		tx = 11794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422683715820312 × 215)
    floor (0.422683715820312 × 32768)
    floor (13850.5)     		ty = 13850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11794 / 13850 ti = "15/11794/13850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11794/13850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11794 ÷ 215
    11794 ÷ 32768     		x = 0.35992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13850 ÷ 215
    13850 ÷ 32768     		y = 0.42266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88012148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42266845703125 × 2 - 1) × π
    0.1546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.485888414548889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88012148} λ = -0.88012148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485888414548889))-π/2
    2×atan(1.62561859070664)-π/2
    2×1.01931121069019-π/2
    2.03862242138037-1.57079632675     		φ = 0.46782609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88012148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46782609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.804461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11794 KachelY 13850 -0.88012148 0.46782609 -50.427246 26.804461
    Oben rechts KachelX + 1 11795 KachelY 13850 -0.87992973 0.46782609 -50.416260 26.804461
    Unten links KachelX 11794 KachelY + 1 13851 -0.88012148 0.46765494 -50.427246 26.794654
    Unten rechts KachelX + 1 11795 KachelY + 1 13851 -0.87992973 0.46765494 -50.416260 26.794654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46782609-0.46765494) × R
    0.000171150000000009 × 6371000     		dl = 1090.39665000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46782609-0.46765494) × R
    0.000171150000000009 × 6371000     		dr = 1090.39665000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88012148--0.87992973) × cos(0.46782609) × R
    0.000191750000000046 × 0.892550714720881 × 6371000     		do = 1090.37498571884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88012148--0.87992973) × cos(0.46765494) × R
    0.000191750000000046 × 0.892627881231826 × 6371000     		du = 1090.4692553574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46782609)-sin(0.46765494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892550714720881-0.892627881231826)×R²
    abs(-0.87992973--0.88012148)×7.71665109458031e-05×R²
    0.000191750000000046×7.71665109458031e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.71665109458031e-05×40589641000000     		ar = 1188992.63022293m²