Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11792 / 13840
↖ ↑ ↗
← N 26.902477°
W 50.449219°		 ← 1 089.43 m → N 26.902477°
W 50.438232°		 →
↑
1 089.50 m
↓
↑
1 089.50 m
↓
N 26.892679°
W 50.449219°		 ← 1 089.53 m →
1 186 992 m²		 N 26.892679°
W 50.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359878540039062 y=0.422378540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359878540039062 × 215)
    floor (0.359878540039062 × 32768)
    floor (11792.5)     		tx = 11792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422378540039062 × 215)
    floor (0.422378540039062 × 32768)
    floor (13840.5)     		ty = 13840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11792 / 13840 ti = "15/11792/13840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11792/13840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11792 ÷ 215
    11792 ÷ 32768     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13840 ÷ 215
    13840 ÷ 32768     		y = 0.42236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487805890533691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487805890533691))-π/2
    2×atan(1.62873866569323)-π/2
    2×1.02016656269486-π/2
    2.04033312538972-1.57079632675     		φ = 0.46953680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46953680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.902477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11792 KachelY 13840 -0.88050497 0.46953680 -50.449219 26.902477
    Oben rechts KachelX + 1 11793 KachelY 13840 -0.88031322 0.46953680 -50.438232 26.902477
    Unten links KachelX 11792 KachelY + 1 13841 -0.88050497 0.46936579 -50.449219 26.892679
    Unten rechts KachelX + 1 11793 KachelY + 1 13841 -0.88031322 0.46936579 -50.438232 26.892679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46953680-0.46936579) × R
    0.000171009999999971 × 6371000     		dl = 1089.50470999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46953680-0.46936579) × R
    0.000171009999999971 × 6371000     		dr = 1089.50470999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.88031322) × cos(0.46953680) × R
    0.000191750000000046 × 0.891777969470339 × 6371000     		do = 1089.43096979053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.88031322) × cos(0.46936579) × R
    0.000191750000000046 × 0.891855333882796 × 6371000     		du = 1089.52548119334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46953680)-sin(0.46936579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891777969470339-0.891855333882796)×R²
    abs(-0.88031322--0.88050497)×7.73644124574258e-05×R²
    0.000191750000000046×7.73644124574258e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.73644124574258e-05×40589641000000     		ar = 1186991.66100837m²