Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11791 / 13841
↖ ↑ ↗
← N 26.892679°
W 50.460205°		 ← 1 089.53 m → N 26.892679°
W 50.449219°		 →
↑
1 089.50 m
↓
↑
1 089.50 m
↓
N 26.882881°
W 50.460205°		 ← 1 089.62 m →
1 187 095 m²		 N 26.882881°
W 50.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359848022460938 y=0.422409057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359848022460938 × 215)
    floor (0.359848022460938 × 32768)
    floor (11791.5)     		tx = 11791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422409057617188 × 215)
    floor (0.422409057617188 × 32768)
    floor (13841.5)     		ty = 13841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11791 / 13841 ti = "15/11791/13841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11791/13841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11791 ÷ 215
    11791 ÷ 32768     		x = 0.359832763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13841 ÷ 215
    13841 ÷ 32768     		y = 0.422393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.28033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88069672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422393798828125 × 2 - 1) × π
    0.15521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487614142935211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88069672} λ = -0.88069672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487614142935211))-π/2
    2×atan(1.62842638890565)-π/2
    2×1.02008106084416-π/2
    2.04016212168832-1.57079632675     		φ = 0.46936579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88069672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.460205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46936579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.892679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11791 KachelY 13841 -0.88069672 0.46936579 -50.460205 26.892679
    Oben rechts KachelX + 1 11792 KachelY 13841 -0.88050497 0.46936579 -50.449219 26.892679
    Unten links KachelX 11791 KachelY + 1 13842 -0.88069672 0.46919478 -50.460205 26.882881
    Unten rechts KachelX + 1 11792 KachelY + 1 13842 -0.88050497 0.46919478 -50.449219 26.882881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46936579-0.46919478) × R
    0.000171010000000027 × 6371000     		dl = 1089.50471000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46936579-0.46919478) × R
    0.000171010000000027 × 6371000     		dr = 1089.50471000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88069672--0.88050497) × cos(0.46936579) × R
    0.000191749999999935 × 0.891855333882796 × 6371000     		do = 1089.52548119271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88069672--0.88050497) × cos(0.46919478) × R
    0.000191749999999935 × 0.891932672213462 × 6371000     		du = 1089.61996073298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46936579)-sin(0.46919478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891855333882796-0.891932672213462)×R²
    abs(-0.88050497--0.88069672)×7.73383306654774e-05×R²
    0.000191749999999935×7.73383306654774e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.73383306654774e-05×40589641000000     		ar = 1187094.61426971m²