Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1179 / 885
↖ ↑ ↗
← N 23.725012°
E 27.246094°		 ← 17.894 km → N 23.725012°
E 27.421875°		 →
↑
17.905 km
↓
↑
17.905 km
↓
N 23.563987°
E 27.246094°		 ← 17.916 km →
320.594 km²		 N 23.563987°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575927734375 y=0.432373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575927734375 × 211)
    floor (0.575927734375 × 2048)
    floor (1179.5)     		tx = 1179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432373046875 × 211)
    floor (0.432373046875 × 2048)
    floor (885.5)     		ty = 885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1179 / 885 ti = "11/1179/885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1179/885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1179 ÷ 211
    1179 ÷ 2048     		x = 0.57568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 885 ÷ 211
    885 ÷ 2048     		y = 0.43212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.42644665902002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47553404} λ = 0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42644665902002))-π/2
    2×atan(1.53180481679352)-π/2
    2×0.992437948325196-π/2
    1.98487589665039-1.57079632675     		φ = 0.41407957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41407957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.725012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1179 KachelY 885 0.47553404 0.41407957 27.246094 23.725012
    Oben rechts KachelX + 1 1180 KachelY 885 0.47860201 0.41407957 27.421875 23.725012
    Unten links KachelX 1179 KachelY + 1 886 0.47553404 0.41126916 27.246094 23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 1180 KachelY + 1 886 0.47860201 0.41126916 27.421875 23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41407957-0.41126916) × R
    0.00281040999999999 × 6371000     		dl = 17905.1221099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41407957-0.41126916) × R
    0.00281040999999999 × 6371000     		dr = 17905.1221099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47553404-0.47860201) × cos(0.41407957) × R
    0.00306797000000003 × 0.915487040910553 × 6371000     		do = 17894.143455645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47553404-0.47860201) × cos(0.41126916) × R
    0.00306797000000003 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 17916.174661513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41407957)-sin(0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915487040910553-0.916614185303787)×R²
    abs(0.47860201-0.47553404)×0.00112714439323458×R²
    0.00306797000000003×0.00112714439323458×6371000²
    0.00306797000000003×0.00112714439323458×40589641000000     		ar = 320594270.358122m²