Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1179 / 510
↖ ↑ ↗
← N 82.687480°
W128.188477°		 ← 621.96 m → N 82.687480°
W128.144531°		 →
↑
622.19 m
↓
↑
622.19 m
↓
N 82.681885°
W128.188477°		 ← 622.43 m →
387 125 m²		 N 82.681885°
W128.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14398193359375 y=0.06231689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14398193359375 × 213)
    floor (0.14398193359375 × 8192)
    floor (1179.5)     		tx = 1179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06231689453125 × 213)
    floor (0.06231689453125 × 8192)
    floor (510.5)     		ty = 510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1179 / 510 ti = "13/1179/510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1179/510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1179 ÷ 213
    1179 ÷ 8192     		x = 0.1439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 510 ÷ 213
    510 ÷ 8192     		y = 0.062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.712158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23731098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062255859375 × 2 - 1) × π
    0.87548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75042755260034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23731098} λ = -2.23731098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75042755260034))-π/2
    2×atan(15.6493213620764)-π/2
    2×1.5069825543596-π/2
    3.0139651087192-1.57079632675     		φ = 1.44316878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23731098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44316878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.687480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1179 KachelY 510 -2.23731098 1.44316878 -128.188477 82.687480
    Oben rechts KachelX + 1 1180 KachelY 510 -2.23654399 1.44316878 -128.144531 82.687480
    Unten links KachelX 1179 KachelY + 1 511 -2.23731098 1.44307112 -128.188477 82.681885
    Unten rechts KachelX + 1 1180 KachelY + 1 511 -2.23654399 1.44307112 -128.144531 82.681885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44316878-1.44307112) × R
    9.76599999999994e-05 × 6371000     		dl = 622.191859999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44316878-1.44307112) × R
    9.76599999999994e-05 × 6371000     		dr = 622.191859999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23731098--2.23654399) × cos(1.44316878) × R
    0.000766990000000245 × 0.127281345808753 × 6371000     		do = 621.959442236839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23731098--2.23654399) × cos(1.44307112) × R
    0.000766990000000245 × 0.127378210899042 × 6371000     		du = 622.432772850572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44316878)-sin(1.44307112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127281345808753-0.127378210899042)×R²
    abs(-2.23654399--2.23731098)×9.68650902891388e-05×R²
    0.000766990000000245×9.68650902891388e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.68650902891388e-05×40589641000000     		ar = 387125.353743718m²