Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11789 / 4628
↖ ↑ ↗
← N 82.294175°
W115.241089°		 ← 81.90 m → N 82.294175°
W115.235596°		 →
↑
81.87 m
↓
↑
81.87 m
↓
N 82.293439°
W115.241089°		 ← 81.91 m →
6 705 m²		 N 82.293439°
W115.235596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179893493652344 y=0.0706253051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179893493652344 × 216)
    floor (0.179893493652344 × 65536)
    floor (11789.5)     		tx = 11789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0706253051757812 × 216)
    floor (0.0706253051757812 × 65536)
    floor (4628.5)     		ty = 4628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11789 / 4628 ti = "16/11789/4628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11789/4628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11789 ÷ 216
    11789 ÷ 65536     		x = 0.179885864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4628 ÷ 216
    4628 ÷ 65536     		y = 0.07061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179885864257812 × 2 - 1) × π
    -0.640228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01133643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07061767578125 × 2 - 1) × π
    0.8587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69788871061676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01133643} λ = -2.01133643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69788871061676))-π/2
    2×atan(14.8483494454507)-π/2
    2×1.50355032027686-π/2
    3.00710064055373-1.57079632675     		φ = 1.43630431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01133643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.241089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43630431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.294175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11789 KachelY 4628 -2.01133643 1.43630431 -115.241089 82.294175
    Oben rechts KachelX + 1 11790 KachelY 4628 -2.01124056 1.43630431 -115.235596 82.294175
    Unten links KachelX 11789 KachelY + 1 4629 -2.01133643 1.43629146 -115.241089 82.293439
    Unten rechts KachelX + 1 11790 KachelY + 1 4629 -2.01124056 1.43629146 -115.235596 82.293439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43630431-1.43629146) × R
    1.28499999998422e-05 × 6371000     		dl = 81.8673499989944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43630431-1.43629146) × R
    1.28499999998422e-05 × 6371000     		dr = 81.8673499989944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01133643--2.01124056) × cos(1.43630431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134086932429522 × 6371000     		do = 81.8986584447666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01133643--2.01124056) × cos(1.43629146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134099666377464 × 6371000     		du = 81.9064361844333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43630431)-sin(1.43629146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134086932429522-0.134099666377464)×R²
    abs(-2.01124056--2.01133643)×1.27339479417676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27339479417676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27339479417676e-05×40589641000000     		ar = 6705.14450693057m²