Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11789 / 13831
↖ ↑ ↗
← N 26.990619°
W 50.482178°		 ← 1 088.58 m → N 26.990619°
W 50.471192°		 →
↑
1 088.61 m
↓
↑
1 088.61 m
↓
N 26.980828°
W 50.482178°		 ← 1 088.67 m →
1 185 093 m²		 N 26.980828°
W 50.471192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359786987304688 y=0.422103881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359786987304688 × 215)
    floor (0.359786987304688 × 32768)
    floor (11789.5)     		tx = 11789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422103881835938 × 215)
    floor (0.422103881835938 × 32768)
    floor (13831.5)     		ty = 13831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11789 / 13831 ti = "15/11789/13831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11789/13831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11789 ÷ 215
    11789 ÷ 32768     		x = 0.359771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13831 ÷ 215
    13831 ÷ 32768     		y = 0.422088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.28045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88108022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422088623046875 × 2 - 1) × π
    0.15582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.489531618920013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88108022} λ = -0.88108022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489531618920013))-π/2
    2×atan(1.63155185294289)-π/2
    2×1.0209357453243-π/2
    2.04187149064859-1.57079632675     		φ = 0.47107516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88108022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47107516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.990619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11789 KachelY 13831 -0.88108022 0.47107516 -50.482178 26.990619
    Oben rechts KachelX + 1 11790 KachelY 13831 -0.88088847 0.47107516 -50.471192 26.990619
    Unten links KachelX 11789 KachelY + 1 13832 -0.88108022 0.47090429 -50.482178 26.980828
    Unten rechts KachelX + 1 11790 KachelY + 1 13832 -0.88088847 0.47090429 -50.471192 26.980828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47107516-0.47090429) × R
    0.00017086999999999 × 6371000     		dl = 1088.61276999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47107516-0.47090429) × R
    0.00017086999999999 × 6371000     		dr = 1088.61276999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88108022--0.88088847) × cos(0.47107516) × R
    0.000191749999999935 × 0.891080847757939 × 6371000     		do = 1088.579338544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88108022--0.88088847) × cos(0.47090429) × R
    0.000191749999999935 × 0.891158383176458 × 6371000     		du = 1088.67405885453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47107516)-sin(0.47090429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891080847757939-0.891158383176458)×R²
    abs(-0.88088847--0.88108022)×7.75354185189592e-05×R²
    0.000191749999999935×7.75354185189592e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.75354185189592e-05×40589641000000     		ar = 1185092.92885027m²