Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11789 / 13830
↖ ↑ ↗
← N 27.000408°
W 50.482178°		 ← 1 088.48 m → N 27.000408°
W 50.471192°		 →
↑
1 088.55 m
↓
↑
1 088.55 m
↓
N 26.990619°
W 50.482178°		 ← 1 088.58 m →
1 184 920 m²		 N 26.990619°
W 50.471192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359786987304688 y=0.422073364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359786987304688 × 215)
    floor (0.359786987304688 × 32768)
    floor (11789.5)     		tx = 11789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422073364257812 × 215)
    floor (0.422073364257812 × 32768)
    floor (13830.5)     		ty = 13830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11789 / 13830 ti = "15/11789/13830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11789/13830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11789 ÷ 215
    11789 ÷ 32768     		x = 0.359771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13830 ÷ 215
    13830 ÷ 32768     		y = 0.42205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.28045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88108022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42205810546875 × 2 - 1) × π
    0.1558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.489723366518494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88108022} λ = -0.88108022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489723366518494))-π/2
    2×atan(1.63186472908816)-π/2
    2×1.02102117291285-π/2
    2.04204234582571-1.57079632675     		φ = 0.47124602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88108022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47124602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.000408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11789 KachelY 13830 -0.88108022 0.47124602 -50.482178 27.000408
    Oben rechts KachelX + 1 11790 KachelY 13830 -0.88088847 0.47124602 -50.471192 27.000408
    Unten links KachelX 11789 KachelY + 1 13831 -0.88108022 0.47107516 -50.482178 26.990619
    Unten rechts KachelX + 1 11790 KachelY + 1 13831 -0.88088847 0.47107516 -50.471192 26.990619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47124602-0.47107516) × R
    0.000170859999999995 × 6371000     		dl = 1088.54905999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47124602-0.47107516) × R
    0.000170859999999995 × 6371000     		dr = 1088.54905999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88108022--0.88088847) × cos(0.47124602) × R
    0.000191749999999935 × 0.891003290862896 × 6371000     		do = 1088.48459199691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88108022--0.88088847) × cos(0.47107516) × R
    0.000191749999999935 × 0.891080847757939 × 6371000     		du = 1088.579338544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47124602)-sin(0.47107516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891003290862896-0.891080847757939)×R²
    abs(-0.88088847--0.88108022)×7.75568950431849e-05×R²
    0.000191749999999935×7.75568950431849e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.75568950431849e-05×40589641000000     		ar = 1184920.45045735m²