Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11789 / 13828
↖ ↑ ↗
← N 27.019984°
W 50.482178°		 ← 1 088.30 m → N 27.019984°
W 50.471192°		 →
↑
1 088.29 m
↓
↑
1 088.29 m
↓
N 27.010196°
W 50.482178°		 ← 1 088.39 m →
1 184 437 m²		 N 27.010196°
W 50.471192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359786987304688 y=0.422012329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359786987304688 × 215)
    floor (0.359786987304688 × 32768)
    floor (11789.5)     		tx = 11789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422012329101562 × 215)
    floor (0.422012329101562 × 32768)
    floor (13828.5)     		ty = 13828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11789 / 13828 ti = "15/11789/13828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11789/13828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11789 ÷ 215
    11789 ÷ 32768     		x = 0.359771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13828 ÷ 215
    13828 ÷ 32768     		y = 0.4219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.28045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88108022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4219970703125 × 2 - 1) × π
    0.156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.490106861715454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88108022} λ = -0.88108022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490106861715454))-π/2
    2×atan(1.6324906613872)-π/2
    2×1.02119200577896-π/2
    2.04238401155793-1.57079632675     		φ = 0.47158768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88108022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47158768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.019984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11789 KachelY 13828 -0.88108022 0.47158768 -50.482178 27.019984
    Oben rechts KachelX + 1 11790 KachelY 13828 -0.88088847 0.47158768 -50.471192 27.019984
    Unten links KachelX 11789 KachelY + 1 13829 -0.88108022 0.47141686 -50.482178 27.010196
    Unten rechts KachelX + 1 11790 KachelY + 1 13829 -0.88088847 0.47141686 -50.471192 27.010196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47158768-0.47141686) × R
    0.000170820000000016 × 6371000     		dl = 1088.2942200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47158768-0.47141686) × R
    0.000170820000000016 × 6371000     		dr = 1088.2942200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88108022--0.88088847) × cos(0.47158768) × R
    0.000191749999999935 × 0.890848126299601 × 6371000     		do = 1088.29503687618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88108022--0.88088847) × cos(0.47141686) × R
    0.000191749999999935 × 0.890925717039651 × 6371000     		du = 1088.38982476966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47158768)-sin(0.47141686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890848126299601-0.890925717039651)×R²
    abs(-0.88088847--0.88108022)×7.75907400504261e-05×R²
    0.000191749999999935×7.75907400504261e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.75907400504261e-05×40589641000000     		ar = 1184436.77972582m²