Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11787 / 4627
↖ ↑ ↗
← N 82.294912°
W115.252075°		 ← 81.89 m → N 82.294912°
W115.246582°		 →
↑
81.93 m
↓
↑
81.93 m
↓
N 82.294175°
W115.252075°		 ← 81.90 m →
6 710 m²		 N 82.294175°
W115.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179862976074219 y=0.0706100463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179862976074219 × 216)
    floor (0.179862976074219 × 65536)
    floor (11787.5)     		tx = 11787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0706100463867188 × 216)
    floor (0.0706100463867188 × 65536)
    floor (4627.5)     		ty = 4627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11787 / 4627 ti = "16/11787/4627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11787/4627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11787 ÷ 216
    11787 ÷ 65536     		x = 0.179855346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4627 ÷ 216
    4627 ÷ 65536     		y = 0.0706024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179855346679688 × 2 - 1) × π
    -0.640289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01152818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0706024169921875 × 2 - 1) × π
    0.858795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.697984584416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01152818} λ = -2.01152818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.697984584416))-π/2
    2×atan(14.849773081368)-π/2
    2×1.50355674768317-π/2
    3.00711349536635-1.57079632675     		φ = 1.43631717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01152818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.252075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43631717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.294912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11787 KachelY 4627 -2.01152818 1.43631717 -115.252075 82.294912
    Oben rechts KachelX + 1 11788 KachelY 4627 -2.01143231 1.43631717 -115.246582 82.294912
    Unten links KachelX 11787 KachelY + 1 4628 -2.01152818 1.43630431 -115.252075 82.294175
    Unten rechts KachelX + 1 11788 KachelY + 1 4628 -2.01143231 1.43630431 -115.246582 82.294175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43631717-1.43630431) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dl = 81.9310600000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43631717-1.43630431) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dr = 81.9310600000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01152818--2.01143231) × cos(1.43631717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134074188549726 × 6371000     		do = 81.8908746388451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01152818--2.01143231) × cos(1.43630431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134086932429522 × 6371000     		du = 81.8986584447666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43631717)-sin(1.43630431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134074188549726-0.134086932429522)×R²
    abs(-2.01143231--2.01152818)×1.27438797956625e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27438797956625e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27438797956625e-05×40589641000000     		ar = 6709.72503109579m²