Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11786 / 6670
↖ ↑ ↗
← N 80.634528°
W115.257569°		 ← 99.40 m → N 80.634528°
W115.252075°		 →
↑
99.39 m
↓
↑
99.39 m
↓
N 80.633635°
W115.257569°		 ← 99.41 m →
9 880 m²		 N 80.633635°
W115.252075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179847717285156 y=0.101783752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179847717285156 × 216)
    floor (0.179847717285156 × 65536)
    floor (11786.5)     		tx = 11786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101783752441406 × 216)
    floor (0.101783752441406 × 65536)
    floor (6670.5)     		ty = 6670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11786 / 6670 ti = "16/11786/6670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11786/6670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11786 ÷ 216
    11786 ÷ 65536     		x = 0.179840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6670 ÷ 216
    6670 ÷ 65536     		y = 0.101776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.64031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.01162406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101776123046875 × 2 - 1) × π
    0.79644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50211441256845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01162406} λ = -2.01162406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50211441256845))-π/2
    2×atan(12.2082800306373)-π/2
    2×1.48906716809569-π/2
    2.97813433619137-1.57079632675     		φ = 1.40733801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01162406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.257569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40733801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.634528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11786 KachelY 6670 -2.01162406 1.40733801 -115.257569 80.634528
    Oben rechts KachelX + 1 11787 KachelY 6670 -2.01152818 1.40733801 -115.252075 80.634528
    Unten links KachelX 11786 KachelY + 1 6671 -2.01162406 1.40732241 -115.257569 80.633635
    Unten rechts KachelX + 1 11787 KachelY + 1 6671 -2.01152818 1.40732241 -115.252075 80.633635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40733801-1.40732241) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dl = 99.3876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40733801-1.40732241) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dr = 99.3876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01162406--2.01152818) × cos(1.40733801) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16273139178488 × 6371000     		do = 99.4047115141884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01162406--2.01152818) × cos(1.40732241) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162746783823444 × 6371000     		du = 99.4141137637254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40733801)-sin(1.40732241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16273139178488-0.162746783823444)×R²
    abs(-2.01152818--2.01162406)×1.53920385638495e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.53920385638495e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.53920385638495e-05×40589641000000     		ar = 9880.06293958037m²