Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11782 / 6665
↖ ↑ ↗
← N 80.638997°
W115.279541°		 ← 99.35 m → N 80.638997°
W115.274048°		 →
↑
99.39 m
↓
↑
99.39 m
↓
N 80.638103°
W115.279541°		 ← 99.36 m →
9 874 m²		 N 80.638103°
W115.274048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179786682128906 y=0.101707458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179786682128906 × 216)
    floor (0.179786682128906 × 65536)
    floor (11782.5)     		tx = 11782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101707458496094 × 216)
    floor (0.101707458496094 × 65536)
    floor (6665.5)     		ty = 6665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11782 / 6665 ti = "16/11782/6665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11782/6665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11782 ÷ 216
    11782 ÷ 65536     		x = 0.179779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6665 ÷ 216
    6665 ÷ 65536     		y = 0.101699829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.64044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01200755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101699829101562 × 2 - 1) × π
    0.796600341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50259378156465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01200755} λ = -2.01200755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50259378156465))-π/2
    2×atan(12.2141337045038)-π/2
    2×1.48910616306512-π/2
    2.97821232613025-1.57079632675     		φ = 1.40741600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01200755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40741600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.638997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11782 KachelY 6665 -2.01200755 1.40741600 -115.279541 80.638997
    Oben rechts KachelX + 1 11783 KachelY 6665 -2.01191168 1.40741600 -115.274048 80.638997
    Unten links KachelX 11782 KachelY + 1 6666 -2.01200755 1.40740040 -115.279541 80.638103
    Unten rechts KachelX + 1 11783 KachelY + 1 6666 -2.01191168 1.40740040 -115.274048 80.638103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40741600-1.40740040) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dl = 99.3876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40741600-1.40740040) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dr = 99.3876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01200755--2.01191168) × cos(1.40741600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162654440864932 × 6371000     		do = 99.3473432164863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01200755--2.01191168) × cos(1.40740040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162669833101444 × 6371000     		du = 99.3567446063011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40741600)-sin(1.40740040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162654440864932-0.162669833101444)×R²
    abs(-2.01191168--2.01200755)×1.53922365125625e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53922365125625e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53922365125625e-05×40589641000000     		ar = 9874.3611996429m²