Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1178 / 931
↖ ↑ ↗
← N 16.130262°
E 27.070312°		 ← 18.776 km → N 16.130262°
E 27.246094°		 →
↑
18.784 km
↓
↑
18.784 km
↓
N 15.961329°
E 27.070312°		 ← 18.792 km →
352.856 km²		 N 15.961329°
E 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575439453125 y=0.454833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575439453125 × 211)
    floor (0.575439453125 × 2048)
    floor (1178.5)     		tx = 1178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454833984375 × 211)
    floor (0.454833984375 × 2048)
    floor (931.5)     		ty = 931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1178 / 931 ti = "11/1178/931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1178/931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1178 ÷ 211
    1178 ÷ 2048     		x = 0.5751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 931 ÷ 211
    931 ÷ 2048     		y = 0.45458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    0.0908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.285320426538574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47246608} λ = 0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285320426538574))-π/2
    2×atan(1.330188187438)-π/2
    2×0.926161254053217-π/2
    1.85232250810643-1.57079632675     		φ = 0.28152618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28152618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.130262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1178 KachelY 931 0.47246608 0.28152618 27.070312 16.130262
    Oben rechts KachelX + 1 1179 KachelY 931 0.47553404 0.28152618 27.246094 16.130262
    Unten links KachelX 1178 KachelY + 1 932 0.47246608 0.27857775 27.070312 15.961329
    Unten rechts KachelX + 1 1179 KachelY + 1 932 0.47553404 0.27857775 27.246094 15.961329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28152618-0.27857775) × R
    0.00294843 × 6371000     		dl = 18784.44753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28152618-0.27857775) × R
    0.00294843 × 6371000     		dr = 18784.44753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47246608-0.47553404) × cos(0.28152618) × R
    0.00306795999999998 × 0.96063255075363 × 6371000     		do = 18776.4980536527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47246608-0.47553404) × cos(0.27857775) × R
    0.00306795999999998 × 0.961447512990499 × 6371000     		du = 18792.4272836609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28152618)-sin(0.27857775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96063255075363-0.961447512990499)×R²
    abs(0.47553404-0.47246608)×0.000814962236868833×R²
    0.00306795999999998×0.000814962236868833×6371000²
    0.00306795999999998×0.000814962236868833×40589641000000     		ar = 352856009.000473m²