Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1178 / 852
↖ ↑ ↗
← N 28.921631°
E 27.070312°		 ← 17.108 km → N 28.921631°
E 27.246094°		 →
↑
17.121 km
↓
↑
17.121 km
↓
N 28.767659°
E 27.070312°		 ← 17.134 km →
293.126 km²		 N 28.767659°
E 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575439453125 y=0.416259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575439453125 × 211)
    floor (0.575439453125 × 2048)
    floor (1178.5)     		tx = 1178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416259765625 × 211)
    floor (0.416259765625 × 2048)
    floor (852.5)     		ty = 852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1178 / 852 ti = "11/1178/852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1178/852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1178 ÷ 211
    1178 ÷ 2048     		x = 0.5751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 852 ÷ 211
    852 ÷ 2048     		y = 0.416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416015625 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47246608} λ = 0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527689391017578))-π/2
    2×atan(1.69501127210133)-π/2
    2×1.03778700885387-π/2
    2.07557401770774-1.57079632675     		φ = 0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1178 KachelY 852 0.47246608 0.50477769 27.070312 28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 1179 KachelY 852 0.47553404 0.50477769 27.246094 28.921631
    Unten links KachelX 1178 KachelY + 1 853 0.47246608 0.50209037 27.070312 28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 1179 KachelY + 1 853 0.47553404 0.50209037 27.246094 28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50477769-0.50209037) × R
    0.00268731999999994 × 6371000     		dl = 17120.9157199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50477769-0.50209037) × R
    0.00268731999999994 × 6371000     		dr = 17120.9157199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47246608-0.47553404) × cos(0.50477769) × R
    0.00306795999999998 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 17108.2386364058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47246608-0.47553404) × cos(0.50209037) × R
    0.00306795999999998 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 17133.5792178353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50477769)-sin(0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.876578468494909)×R²
    abs(0.47553404-0.47246608)×0.00129646046385645×R²
    0.00306795999999998×0.00129646046385645×6371000²
    0.00306795999999998×0.00129646046385645×40589641000000     		ar = 293125815.196322m²