Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11779 / 4619
↖ ↑ ↗
← N 82.300801°
W115.296020°		 ← 81.83 m → N 82.300801°
W115.290527°		 →
↑
81.80 m
↓
↑
81.80 m
↓
N 82.300066°
W115.296020°		 ← 81.84 m →
6 694 m²		 N 82.300066°
W115.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179740905761719 y=0.0704879760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179740905761719 × 216)
    floor (0.179740905761719 × 65536)
    floor (11779.5)     		tx = 11779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0704879760742188 × 216)
    floor (0.0704879760742188 × 65536)
    floor (4619.5)     		ty = 4619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11779 / 4619 ti = "16/11779/4619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11779/4619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11779 ÷ 216
    11779 ÷ 65536     		x = 0.179733276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4619 ÷ 216
    4619 ÷ 65536     		y = 0.0704803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179733276367188 × 2 - 1) × π
    -0.640533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01229517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0704803466796875 × 2 - 1) × π
    0.859039306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69875157480992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01229517} λ = -2.01229517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69875157480992))-π/2
    2×atan(14.8611670836599)-π/2
    2×1.50360814495585-π/2
    3.0072162899117-1.57079632675     		φ = 1.43641996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01229517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.296020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43641996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.300801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11779 KachelY 4619 -2.01229517 1.43641996 -115.296020 82.300801
    Oben rechts KachelX + 1 11780 KachelY 4619 -2.01219930 1.43641996 -115.290527 82.300801
    Unten links KachelX 11779 KachelY + 1 4620 -2.01229517 1.43640712 -115.296020 82.300066
    Unten rechts KachelX + 1 11780 KachelY + 1 4620 -2.01219930 1.43640712 -115.290527 82.300066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43641996-1.43640712) × R
    1.2840000000125e-05 × 6371000     		dl = 81.8036400007962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43641996-1.43640712) × R
    1.2840000000125e-05 × 6371000     		dr = 81.8036400007962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01229517--2.01219930) × cos(1.43641996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133972325901962 × 6371000     		do = 81.828658179371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01229517--2.01219930) × cos(1.43640712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133985050139262 × 6371000     		du = 81.8364299878962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43641996)-sin(1.43640712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133972325901962-0.133985050139262)×R²
    abs(-2.01219930--2.01229517)×1.27242372997549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27242372997549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27242372997549e-05×40589641000000     		ar = 6694.19997634912m²