Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11779 / 13798
↖ ↑ ↗
← N 27.313214°
W 50.592041°		 ← 1 085.44 m → N 27.313214°
W 50.581054°		 →
↑
1 085.49 m
↓
↑
1 085.49 m
↓
N 27.303452°
W 50.592041°		 ← 1 085.54 m →
1 178 288 m²		 N 27.303452°
W 50.581054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359481811523438 y=0.421096801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359481811523438 × 215)
    floor (0.359481811523438 × 32768)
    floor (11779.5)     		tx = 11779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421096801757812 × 215)
    floor (0.421096801757812 × 32768)
    floor (13798.5)     		ty = 13798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11779 / 13798 ti = "15/11779/13798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11779/13798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11779 ÷ 215
    11779 ÷ 32768     		x = 0.359466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13798 ÷ 215
    13798 ÷ 32768     		y = 0.42108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.28106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88299769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42108154296875 × 2 - 1) × π
    0.1578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.495859289669861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88299769} λ = -0.88299769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495859289669861))-π/2
    2×atan(1.64190850807531)-π/2
    2×1.0237509193069-π/2
    2.0475018386138-1.57079632675     		φ = 0.47670551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88299769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47670551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.313214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11779 KachelY 13798 -0.88299769 0.47670551 -50.592041 27.313214
    Oben rechts KachelX + 1 11780 KachelY 13798 -0.88280594 0.47670551 -50.581054 27.313214
    Unten links KachelX 11779 KachelY + 1 13799 -0.88299769 0.47653513 -50.592041 27.303452
    Unten rechts KachelX + 1 11780 KachelY + 1 13799 -0.88280594 0.47653513 -50.581054 27.303452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47670551-0.47653513) × R
    0.000170380000000026 × 6371000     		dl = 1085.49098000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47670551-0.47653513) × R
    0.000170380000000026 × 6371000     		dr = 1085.49098000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88299769--0.88280594) × cos(0.47670551) × R
    0.000191749999999935 × 0.888511433335083 × 6371000     		do = 1085.44044103553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88299769--0.88280594) × cos(0.47653513) × R
    0.000191749999999935 × 0.888589600064373 × 6371000     		du = 1085.53593258007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47670551)-sin(0.47653513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888511433335083-0.888589600064373)×R²
    abs(-0.88280594--0.88299769)×7.81667292893973e-05×R²
    0.000191749999999935×7.81667292893973e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.81667292893973e-05×40589641000000     		ar = 1178287.63852735m²