Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11776 / 5633
↖ ↑ ↗
← N 81.517461°
W115.312500°		 ← 90.10 m → N 81.517461°
W115.307007°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
N 81.516651°
W115.312500°		 ← 90.10 m →
8 117 m²		 N 81.516651°
W115.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179695129394531 y=0.0859603881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179695129394531 × 216)
    floor (0.179695129394531 × 65536)
    floor (11776.5)     		tx = 11776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859603881835938 × 216)
    floor (0.0859603881835938 × 65536)
    floor (5633.5)     		ty = 5633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11776 / 5633 ti = "16/11776/5633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11776/5633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11776 ÷ 216
    11776 ÷ 65536     		x = 0.1796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5633 ÷ 216
    5633 ÷ 65536     		y = 0.0859527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1796875 × 2 - 1) × π
    -0.640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859527587890625 × 2 - 1) × π
    0.828094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60153554238045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01258279} λ = -2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60153554238045))-π/2
    2×atan(13.4844280564907)-π/2
    2×1.49677221504226-π/2
    2.99354443008452-1.57079632675     		φ = 1.42274810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42274810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.517461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11776 KachelY 5633 -2.01258279 1.42274810 -115.312500 81.517461
    Oben rechts KachelX + 1 11777 KachelY 5633 -2.01248692 1.42274810 -115.307007 81.517461
    Unten links KachelX 11776 KachelY + 1 5634 -2.01258279 1.42273396 -115.312500 81.516651
    Unten rechts KachelX + 1 11777 KachelY + 1 5634 -2.01248692 1.42273396 -115.307007 81.516651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42274810-1.42273396) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42274810-1.42273396) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01258279--2.01248692) × cos(1.42274810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147507992166861 × 6371000     		do = 90.0960775927724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01258279--2.01248692) × cos(1.42273396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147521977472728 × 6371000     		du = 90.1046196465556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42274810)-sin(1.42273396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147507992166861-0.147521977472728)×R²
    abs(-2.01248692--2.01258279)×1.3985305866937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3985305866937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3985305866937e-05×40589641000000     		ar = 8116.77459962896m²