Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 11776 / 15873
↖ ↑ ↗
← N 67.607128°
W115.312500°		 ← 232.68 m → N 67.607128°
W115.307007°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
N 67.605035°
W115.312500°		 ← 232.70 m →
54 140 m²		 N 67.605035°
W115.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179695129394531 y=0.242210388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179695129394531 × 216)
    floor (0.179695129394531 × 65536)
    floor (11776.5)     		tx = 11776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242210388183594 × 216)
    floor (0.242210388183594 × 65536)
    floor (15873.5)     		ty = 15873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11776 / 15873 ti = "16/11776/15873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11776/15873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11776 ÷ 216
    11776 ÷ 65536     		x = 0.1796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15873 ÷ 216
    15873 ÷ 65536     		y = 0.242202758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1796875 × 2 - 1) × π
    -0.640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242202758789062 × 2 - 1) × π
    0.515594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6197878381617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01258279} λ = -2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6197878381617))-π/2
    2×atan(5.05201835735164)-π/2
    2×1.37538165451142-π/2
    2.75076330902284-1.57079632675     		φ = 1.17996698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17996698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.607128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11776 KachelY 15873 -2.01258279 1.17996698 -115.312500 67.607128
    Oben rechts KachelX + 1 11777 KachelY 15873 -2.01248692 1.17996698 -115.307007 67.607128
    Unten links KachelX 11776 KachelY + 1 15874 -2.01258279 1.17993046 -115.312500 67.605035
    Unten rechts KachelX + 1 11777 KachelY + 1 15874 -2.01248692 1.17993046 -115.307007 67.605035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17996698-1.17993046) × R
    3.65200000000954e-05 × 6371000     		dl = 232.668920000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17996698-1.17993046) × R
    3.65200000000954e-05 × 6371000     		dr = 232.668920000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01258279--2.01248692) × cos(1.17996698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380955354649741 × 6371000     		do = 232.682871536069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01258279--2.01248692) × cos(1.17993046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380989120547892 × 6371000     		du = 232.703495333703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17996698)-sin(1.17993046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380955354649741-0.380989120547892)×R²
    abs(-2.01248692--2.01258279)×3.37658981516831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37658981516831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37658981516831e-05×40589641000000     		ar = 54140.4716871384m²