Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11774 / 5634
↖ ↑ ↗
← N 81.516651°
W115.323486°		 ← 90.10 m → N 81.516651°
W115.317993°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
N 81.515841°
W115.323486°		 ← 90.11 m →
8 118 m²		 N 81.515841°
W115.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179664611816406 y=0.0859756469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179664611816406 × 216)
    floor (0.179664611816406 × 65536)
    floor (11774.5)     		tx = 11774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859756469726562 × 216)
    floor (0.0859756469726562 × 65536)
    floor (5634.5)     		ty = 5634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11774 / 5634 ti = "16/11774/5634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11774/5634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11774 ÷ 216
    11774 ÷ 65536     		x = 0.179656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5634 ÷ 216
    5634 ÷ 65536     		y = 0.085968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.64068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01277454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085968017578125 × 2 - 1) × π
    0.82806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60143966858121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01277454} λ = -2.01277454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60143966858121))-π/2
    2×atan(13.4831353151133)-π/2
    2×1.49676514363133-π/2
    2.99353028726267-1.57079632675     		φ = 1.42273396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01277454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42273396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.516651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11774 KachelY 5634 -2.01277454 1.42273396 -115.323486 81.516651
    Oben rechts KachelX + 1 11775 KachelY 5634 -2.01267867 1.42273396 -115.317993 81.516651
    Unten links KachelX 11774 KachelY + 1 5635 -2.01277454 1.42271982 -115.323486 81.515841
    Unten rechts KachelX + 1 11775 KachelY + 1 5635 -2.01267867 1.42271982 -115.317993 81.515841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42273396-1.42271982) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42273396-1.42271982) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01277454--2.01267867) × cos(1.42273396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147521977472728 × 6371000     		do = 90.1046196465556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01277454--2.01267867) × cos(1.42271982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147535962749099 × 6371000     		du = 90.1131616823234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42273396)-sin(1.42271982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147521977472728-0.147535962749099)×R²
    abs(-2.01267867--2.01277454)×1.39852763714476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39852763714476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39852763714476e-05×40589641000000     		ar = 8117.54411827404m²