Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11774 / 13806
↖ ↑ ↗
← N 27.235094°
W 50.646973°		 ← 1 086.20 m → N 27.235094°
W 50.635986°		 →
↑
1 086.19 m
↓
↑
1 086.19 m
↓
N 27.225326°
W 50.646973°		 ← 1 086.30 m →
1 179 877 m²		 N 27.225326°
W 50.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359329223632812 y=0.421340942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359329223632812 × 215)
    floor (0.359329223632812 × 32768)
    floor (11774.5)     		tx = 11774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421340942382812 × 215)
    floor (0.421340942382812 × 32768)
    floor (13806.5)     		ty = 13806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11774 / 13806 ti = "15/11774/13806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11774/13806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11774 ÷ 215
    11774 ÷ 32768     		x = 0.35931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13806 ÷ 215
    13806 ÷ 32768     		y = 0.42132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42132568359375 × 2 - 1) × π
    0.1573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.494325308882019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88395643} λ = -0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494325308882019))-π/2
    2×atan(1.63939178276618)-π/2
    2×1.02306919989026-π/2
    2.04613839978052-1.57079632675     		φ = 0.47534207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47534207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.235094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11774 KachelY 13806 -0.88395643 0.47534207 -50.646973 27.235094
    Oben rechts KachelX + 1 11775 KachelY 13806 -0.88376468 0.47534207 -50.635986 27.235094
    Unten links KachelX 11774 KachelY + 1 13807 -0.88395643 0.47517158 -50.646973 27.225326
    Unten rechts KachelX + 1 11775 KachelY + 1 13807 -0.88376468 0.47517158 -50.635986 27.225326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47534207-0.47517158) × R
    0.000170490000000023 × 6371000     		dl = 1086.19179000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47534207-0.47517158) × R
    0.000170490000000023 × 6371000     		dr = 1086.19179000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88395643--0.88376468) × cos(0.47534207) × R
    0.000191750000000046 × 0.889136227834684 × 6371000     		do = 1086.20371452005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88395643--0.88376468) × cos(0.47517158) × R
    0.000191750000000046 × 0.889214238402532 × 6371000     		du = 1086.29901529165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47534207)-sin(0.47517158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889136227834684-0.889214238402532)×R²
    abs(-0.88376468--0.88395643)×7.80105678480636e-05×R²
    0.000191750000000046×7.80105678480636e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.80105678480636e-05×40589641000000     		ar = 1179877.3172953m²