Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11773 / 13797
↖ ↑ ↗
← N 27.322975°
W 50.657959°		 ← 1 085.34 m → N 27.322975°
W 50.646973°		 →
↑
1 085.36 m
↓
↑
1 085.36 m
↓
N 27.313214°
W 50.657959°		 ← 1 085.44 m →
1 178 046 m²		 N 27.313214°
W 50.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359298706054688 y=0.421066284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359298706054688 × 215)
    floor (0.359298706054688 × 32768)
    floor (11773.5)     		tx = 11773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421066284179688 × 215)
    floor (0.421066284179688 × 32768)
    floor (13797.5)     		ty = 13797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11773 / 13797 ti = "15/11773/13797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11773/13797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11773 ÷ 215
    11773 ÷ 32768     		x = 0.359283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13797 ÷ 215
    13797 ÷ 32768     		y = 0.421051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.28143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88414818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421051025390625 × 2 - 1) × π
    0.15789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.496051037268341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88414818} λ = -0.88414818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496051037268341))-π/2
    2×atan(1.64222337027473)-π/2
    2×1.02383610052583-π/2
    2.04767220105166-1.57079632675     		φ = 0.47687587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88414818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47687587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.322975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11773 KachelY 13797 -0.88414818 0.47687587 -50.657959 27.322975
    Oben rechts KachelX + 1 11774 KachelY 13797 -0.88395643 0.47687587 -50.646973 27.322975
    Unten links KachelX 11773 KachelY + 1 13798 -0.88414818 0.47670551 -50.657959 27.313214
    Unten rechts KachelX + 1 11774 KachelY + 1 13798 -0.88395643 0.47670551 -50.646973 27.313214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47687587-0.47670551) × R
    0.000170359999999981 × 6371000     		dl = 1085.36355999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47687587-0.47670551) × R
    0.000170359999999981 × 6371000     		dr = 1085.36355999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88414818--0.88395643) × cos(0.47687587) × R
    0.000191749999999935 × 0.888433249993007 × 6371000     		do = 1085.34492919615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88414818--0.88395643) × cos(0.47670551) × R
    0.000191749999999935 × 0.888511433335083 × 6371000     		du = 1085.44044103553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47687587)-sin(0.47670551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888433249993007-0.888511433335083)×R²
    abs(-0.88395643--0.88414818)×7.81833420768763e-05×R²
    0.000191749999999935×7.81833420768763e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.81833420768763e-05×40589641000000     		ar = 1178045.67156423m²