Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11772 / 13812
↖ ↑ ↗
← N 27.176469°
W 50.668945°		 ← 1 086.72 m → N 27.176469°
W 50.657959°		 →
↑
1 086.83 m
↓
↑
1 086.83 m
↓
N 27.166695°
W 50.668945°		 ← 1 086.81 m →
1 181 129 m²		 N 27.166695°
W 50.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359268188476562 y=0.421524047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359268188476562 × 215)
    floor (0.359268188476562 × 32768)
    floor (11772.5)     		tx = 11772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421524047851562 × 215)
    floor (0.421524047851562 × 32768)
    floor (13812.5)     		ty = 13812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11772 / 13812 ti = "15/11772/13812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11772/13812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11772 ÷ 215
    11772 ÷ 32768     		x = 0.3592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13812 ÷ 215
    13812 ÷ 32768     		y = 0.4215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4215087890625 × 2 - 1) × π
    0.156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.493174823291138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88433992} λ = -0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493174823291138))-π/2
    2×atan(1.63750677068983)-π/2
    2×1.0225575961003-π/2
    2.0451151922006-1.57079632675     		φ = 0.47431887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47431887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.176469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11772 KachelY 13812 -0.88433992 0.47431887 -50.668945 27.176469
    Oben rechts KachelX + 1 11773 KachelY 13812 -0.88414818 0.47431887 -50.657959 27.176469
    Unten links KachelX 11772 KachelY + 1 13813 -0.88433992 0.47414828 -50.668945 27.166695
    Unten rechts KachelX + 1 11773 KachelY + 1 13813 -0.88414818 0.47414828 -50.657959 27.166695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47431887-0.47414828) × R
    0.000170590000000026 × 6371000     		dl = 1086.82889000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47431887-0.47414828) × R
    0.000170590000000026 × 6371000     		dr = 1086.82889000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88433992--0.88414818) × cos(0.47431887) × R
    0.000191739999999996 × 0.889604022247239 × 6371000     		do = 1086.71851386282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88433992--0.88414818) × cos(0.47414828) × R
    0.000191739999999996 × 0.889681923319867 × 6371000     		du = 1086.81367590768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47431887)-sin(0.47414828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889604022247239-0.889681923319867)×R²
    abs(-0.88414818--0.88433992)×7.79010726276175e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79010726276175e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79010726276175e-05×40589641000000     		ar = 1181128.79145834m²