Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11771 / 13805
↖ ↑ ↗
← N 27.244863°
W 50.679932°		 ← 1 086.11 m → N 27.244863°
W 50.668945°		 →
↑
1 086.19 m
↓
↑
1 086.19 m
↓
N 27.235094°
W 50.679932°		 ← 1 086.20 m →
1 179 774 m²		 N 27.235094°
W 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359237670898438 y=0.421310424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359237670898438 × 215)
    floor (0.359237670898438 × 32768)
    floor (11771.5)     		tx = 11771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421310424804688 × 215)
    floor (0.421310424804688 × 32768)
    floor (13805.5)     		ty = 13805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11771 / 13805 ti = "15/11771/13805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11771/13805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11771 ÷ 215
    11771 ÷ 32768     		x = 0.359222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13805 ÷ 215
    13805 ÷ 32768     		y = 0.421295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.28155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88453167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421295166015625 × 2 - 1) × π
    0.15740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.494517056480499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88453167} λ = -0.88453167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494517056480499))-π/2
    2×atan(1.63970616234329)-π/2
    2×1.02315444101783-π/2
    2.04630888203566-1.57079632675     		φ = 0.47551256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88453167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47551256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.244863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11771 KachelY 13805 -0.88453167 0.47551256 -50.679932 27.244863
    Oben rechts KachelX + 1 11772 KachelY 13805 -0.88433992 0.47551256 -50.668945 27.244863
    Unten links KachelX 11771 KachelY + 1 13806 -0.88453167 0.47534207 -50.679932 27.235094
    Unten rechts KachelX + 1 11772 KachelY + 1 13806 -0.88433992 0.47534207 -50.668945 27.235094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47551256-0.47534207) × R
    0.000170489999999968 × 6371000     		dl = 1086.19178999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47551256-0.47534207) × R
    0.000170489999999968 × 6371000     		dr = 1086.19178999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88453167--0.88433992) × cos(0.47551256) × R
    0.000191750000000046 × 0.889058191422456 × 6371000     		do = 1086.10838217595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88453167--0.88433992) × cos(0.47534207) × R
    0.000191750000000046 × 0.889136227834684 × 6371000     		du = 1086.20371452005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47551256)-sin(0.47534207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889058191422456-0.889136227834684)×R²
    abs(-0.88433992--0.88453167)×7.80364122285881e-05×R²
    0.000191750000000046×7.80364122285881e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.80364122285881e-05×40589641000000     		ar = 1179773.7852318m²