Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1177 / 1219
↖ ↑ ↗
← S 32.398516°
E 26.894531°		 ← 16.503 km → S 32.398516°
E 27.070312°		 →
↑
16.490 km
↓
↑
16.490 km
↓
S 32.546813°
E 26.894531°		 ← 16.476 km →
271.918 km²		 S 32.546813°
E 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574951171875 y=0.595458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574951171875 × 211)
    floor (0.574951171875 × 2048)
    floor (1177.5)     		tx = 1177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595458984375 × 211)
    floor (0.595458984375 × 2048)
    floor (1219.5)     		ty = 1219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1177 / 1219 ti = "11/1177/1219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1177/1219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1177 ÷ 211
    1177 ÷ 2048     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1219 ÷ 211
    1219 ÷ 2048     		y = 0.59521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598252507258301))-π/2
    2×atan(0.549771518894505)-π/2
    2×0.502667776648375-π/2
    1.00533555329675-1.57079632675     		φ = -0.56546077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56546077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.398516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1177 KachelY 1219 0.46939812 -0.56546077 26.894531 -32.398516
    Oben rechts KachelX + 1 1178 KachelY 1219 0.47246608 -0.56546077 27.070312 -32.398516
    Unten links KachelX 1177 KachelY + 1 1220 0.46939812 -0.56804905 26.894531 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 1178 KachelY + 1 1220 0.47246608 -0.56804905 27.070312 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56546077--0.56804905) × R
    0.00258828000000011 × 6371000     		dl = 16489.9318800007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56546077--0.56804905) × R
    0.00258828000000011 × 6371000     		dr = 16489.9318800007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.47246608) × cos(-0.56546077) × R
    0.00306796000000004 × 0.844341807229663 × 6371000     		do = 16503.4823019771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.47246608) × cos(-0.56804905) × R
    0.00306796000000004 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 16476.3204394804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56546077)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844341807229663-0.842952167416165)×R²
    abs(0.47246608-0.46939812)×0.00138963981349849×R²
    0.00306796000000004×0.00138963981349849×6371000²
    0.00306796000000004×0.00138963981349849×40589641000000     		ar = 271917502.113586m²