Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11767 / 13793
↖ ↑ ↗
← N 27.362010°
W 50.723877°		 ← 1 084.96 m → N 27.362010°
W 50.712890°		 →
↑
1 084.98 m
↓
↑
1 084.98 m
↓
N 27.352253°
W 50.723877°		 ← 1 085.06 m →
1 177 216 m²		 N 27.352253°
W 50.712890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359115600585938 y=0.420944213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359115600585938 × 215)
    floor (0.359115600585938 × 32768)
    floor (11767.5)     		tx = 11767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420944213867188 × 215)
    floor (0.420944213867188 × 32768)
    floor (13793.5)     		ty = 13793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11767 / 13793 ti = "15/11767/13793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11767/13793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11767 ÷ 215
    11767 ÷ 32768     		x = 0.359100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13793 ÷ 215
    13793 ÷ 32768     		y = 0.420928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.28179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88529866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420928955078125 × 2 - 1) × π
    0.15814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.496818027662262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88529866} λ = -0.88529866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496818027662262))-π/2
    2×atan(1.6434834229868)-π/2
    2×1.02417675041597-π/2
    2.04835350083195-1.57079632675     		φ = 0.47755717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88529866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47755717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.362010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11767 KachelY 13793 -0.88529866 0.47755717 -50.723877 27.362010
    Oben rechts KachelX + 1 11768 KachelY 13793 -0.88510691 0.47755717 -50.712890 27.362010
    Unten links KachelX 11767 KachelY + 1 13794 -0.88529866 0.47738687 -50.723877 27.352253
    Unten rechts KachelX + 1 11768 KachelY + 1 13794 -0.88510691 0.47738687 -50.712890 27.352253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47755717-0.47738687) × R
    0.000170299999999957 × 6371000     		dl = 1084.98129999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47755717-0.47738687) × R
    0.000170299999999957 × 6371000     		dr = 1084.98129999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88529866--0.88510691) × cos(0.47755717) × R
    0.000191750000000046 × 0.888120323147151 × 6371000     		do = 1084.9626454795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88529866--0.88510691) × cos(0.47738687) × R
    0.000191750000000046 × 0.888198582025159 × 6371000     		du = 1085.05824959654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47755717)-sin(0.47738687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888120323147151-0.888198582025159)×R²
    abs(-0.88510691--0.88529866)×7.82588780082749e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82588780082749e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82588780082749e-05×40589641000000     		ar = 1177216.04872832m²